数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]叫做一个幂等矩阵，如果[tex=3.286x1.214]rPRBSosCEth94R4jBBpQCQ==[/tex].设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个幂等矩阵.证明，秩[tex=1.571x1.143]J3m9F+ixGrk39WtzDO4fXw==[/tex]秩[tex=4.143x1.357]ZAmGlJat3U9uyo3jOvLObA==[/tex].
举一反三
- 令[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶反对称矩阵，即满足条件[tex=3.5x1.357]94lt/XH9Z+eRnjmPIYb4+Q==[/tex].证明：[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上两个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.
- 如果 [tex=0.643x0.786]599dzwB9YKOEbRw3d/KhxQ==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]满足 [tex=3.0x1.429]q6ixAjxKHwo02pve8cMpug==[/tex] 则称 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 为幂等矩阵。证明: 如果 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为幂等矩阵, 且 [tex=2.286x1.0]PN7rj3PTMcXzDeqk76hHqQ==[/tex]则 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex] 是幂等矩阵。
- 令[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶反对称矩阵，即满足条件[tex=3.5x1.357]94lt/XH9Z+eRnjmPIYb4+Q==[/tex].证明：反对称矩阵的秩一定是偶数.
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶正交矩阵，证明[tex=3.286x1.214]gOs/eXCB4zyspRW4NZ7Kog==[/tex]也是对称矩阵。
- 设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是复数域上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶对称矩阵，证明存在复数域上一个矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]，使得[tex=3.357x1.214]cEyQZ7EYqIDjAlbRYg3lAQ==[/tex]