有非零解,也就是R(A)小于N.1.那么方程的个数要小于未知数的个数（直观上看这个方程组是扁而长,）2.等价于A的列向量线性相关（对系数矩阵A做列分块可得向量形式：a1x1+a2x2+~~~+anxn=0）3.一旦R（a）小于N成立,那么系数矩阵的行列式肯定为0（这个条件不是很完美,因为行列式求值要求N行N列,方程组不一定以这种形式出现,最重要的就是把握系数矩阵的秩,非零秩小于N,零秩等于N.一般也就这三条拓展的话,再加上对系数矩阵的研究,比如特征值特征值的乘积为行列式的值,咱们假如他就是N行N列的系数矩阵,那么就有A的特征值里面必有0.再进一步找特殊,咱们假如系数矩阵的秩为1,我们又能得到系数矩阵的主对角线元素和为1.（迹的概念矩阵相似那一块提到的）.齐次和非齐次的结合AX=0解的情况是看秩1.零解满秩2.非零解不满秩那么AX=b解的情况也是看秩,只不过多了无解的情况,1,R（A）=R（A的增广）有解小于N,无穷多解等于N,一个2,R（A）不等于R（A的增广）,（若不等,必是增广的秩比系数的秩多1）R(A)+1=R(A的增广)1.非齐次的通解=齐次方程的通解+非齐次的特解2.非齐次通解的差值,为齐次方程组的解（上面那句话的延伸,做差自己能看出来,干掉非齐次的特解）齐次方程组解的线性组合还为齐次方程组的解.3.齐次的解不能够表示非齐次的解.比如M是AX=b的一个解,N1,N2,Ns是AX=0的基础解系M能用N1,N2,Ns表示吗?肯定不能,证明,假设能,M=K1N1+K2N2+,+KsNs两边同左乘A,等号左边AM=b等号右边A（K1N1+K2N2+,KsNs）=00不等于b矛盾解的结构,尤其是非齐次的解,1,先要知道齐次方程组有多少个基础解系N-R(A)2,大致写出非齐次解的模样（）+k1()+k2()+,+kn()3,往括号里面填数字对于齐次要有差的思维非齐次的差另外还要注意非齐次解的个数问题,比如P,O,I为AX=b的三个解R(A)=3给你P+O=(1234)TO+3I=（2345)T求AX=b的通解首先写出大致模样,齐次方程的基础解系有几个?4-R(A)=1故()+K()先算右边的括号这是齐次的基础解系直白点也就是齐次的解所给条件一个是两个解的和一个是三个解的和.显然不能直接减,个数都不对,做差那不范二吗.先做成个数一样的,最小公倍化都变为6个解的和然后做差也就是P+O乘以3减去O+3I乘以2再算左边的括号,左边括号,要有除的思维和差的思维除两个解的和,除以二三个解的和,除以三差大减小,胜出一个解来就行时间紧,就写这些了