证明：若函数[tex=1.857x1.286]uIwmjAPa36xB0tHn76p4aw==[/tex]在 [tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]连续，函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，且[tex=12.143x1.286]0yFTNkcCeqvwJCm20B0p4Ec4rCrnak5J9VhadnkD9izmuLKOwXvuu3VQlH8/5Up3[/tex]，则[tex=3.071x1.286]MyR6gM6vRhi2Zc14h8dqlNkoNzoNdTDdkT/5RAiOr/o=[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积。

2022-06-30

证明：若函数[tex=1.857x1.286]uIwmjAPa36xB0tHn76p4aw==[/tex]在 [tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]连续，函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，且[tex=12.143x1.286]0yFTNkcCeqvwJCm20B0p4Ec4rCrnak5J9VhadnkD9izmuLKOwXvuu3VQlH8/5Up3[/tex]，则[tex=3.071x1.286]MyR6gM6vRhi2Zc14h8dqlNkoNzoNdTDdkT/5RAiOr/o=[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积。

答案：

证明 函数[tex=1.857x1.286]uIwmjAPa36xB0tHn76p4aw==[/tex]在[tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]连续，则函数 [tex=1.857x1.286]uIwmjAPa36xB0tHn76p4aw==[/tex]在[tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]上一致连续，即，[tex=2.786x1.286]joguGSInidzw2xc+WzmvAZad/jjxgQdNyh+mayOOv3Y=[/tex]，[tex=2.857x1.286]6XWrGbUTgRaSPR9Pp+OJON+BrWCKWy3SgVd6SZygpgE=[/tex]， 将[tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]分成若干个小区间，使每个小区间的长[tex=3.571x1.286]8RJmXiWSvS7Z817A2ZiWnD4t0hhgjFC0+4j+bE8klGQ=[/tex]并且在每个小区间上的振幅[tex=4.214x1.286]lh9MgnQr7de19gqt5iBOwRSDrYEYX25NQsQT6pYKSDkw7iRFLEfTDUFZBPVv1MhF[/tex] 。由知，因为[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，对上述的[tex=2.286x1.286]agbj3VZO5e3/0KnI5wCMSKLl3aP3w8IOLV//cMDwSdM=[/tex]和[tex=2.357x1.286]mlhEedFsgh4h9ok3HK/njQ==[/tex]， [tex=2.786x1.286]Ak5V7FpbQo0sWJG4fyE1vIzv0g+n2jDGWqKkktLbPaM=[/tex]， 对[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]的任意分法 [tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]， 当[tex=3.571x1.286]cSiXQ90MpujLlZYvcawW9/SHlo9d0wiY1cniXPr7I7c=[/tex]时，有[tex=4.5x1.286]pypE++0HMJiR9XIRhFV0LETnUuDRg4KPPLynKp0wFeHj9llg7Q0+hzrYMXxV33Uq[/tex]的那些小区间的总长为 [tex=5.429x1.357]ZDyY2wISnTnR1ujv0f8zrDHCrylb8cKjrDNy/Z6crch75B/OBP3QFN56SaOvOf4w[/tex]， 其余小区间上的振幅[tex=4.714x1.286]qdvop7Gfav5xNT7bnfD/c7SV2gPpb4oletCQNKsqbw7bEpyxBE1mIcxAVoQ0fC60[/tex]， 即[tex=4.143x1.286]tjKGqyGdAzVJLIHRkOpRSsGW3xWae+sweDS2sGuVAglZkn/2RtVPoWrYo2Nc0Wtg[/tex]， 也有[tex=5.857x1.286]pypE++0HMJiR9XIRhFV0LDZo9vKBVRpMfiVc0o3wqmWFPl1LhEDBVFt5kxqIVOWi/BvW/CFgLBEnCrlsw+vnWg==[/tex]。已知[tex=1.929x1.286]W1PBftHxRbnObLt0Fbm2cw==[/tex]在[tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]有界，设[tex=1.929x1.286]W1PBftHxRbnObLt0Fbm2cw==[/tex]在[tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]的振幅是正常数[tex=0.643x1.286]ohRhszNY1N1ufO8Wot2Tag==[/tex]，于是[tex=23.714x8.071]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[/tex]即函数[tex=3.071x1.286]MyR6gM6vRhi2Zc14h8dqlNkoNzoNdTDdkT/5RAiOr/o=[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积。

举一反三

内容

0
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=6.714x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzYsKbxS+lPuYoFwuI9XhYxAiEUcIxK0tGWtktnw0xLsS[/tex]，则 [tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex] 。
1
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 除一个(或有限个) 第一类不连续点外连续，则 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]有界。
2
应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]一致连续。
3
应用致密性定理证明闭区间连续函数的最值性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 取到最小值[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]与最大值[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]。
4
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与 [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=10.786x1.286]oft7u4bm8J36KlCnLjxu4T+QPplOph1C5nRHIBwQK00=[/tex]与 [tex=10.571x1.286]FQWP0IoO+1FZLLkdaO8ZLFmEjUtE1Cz28PYCGsRzPkv4rZiEoVx2wLN/ykjFevsb[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]都连续（提示：[tex=10.786x1.286]oft7u4bm8J36KlCnLjxu4T+QPplOph1C5nRHIBwQK00=[/tex][tex=13.214x2.0]F+ehlUHSlMNJnD9bwdvHfo9itw6nyR2Ckwecj7tiniXYoKfF17Y2geRgUijeJu4r[/tex]与 [tex=10.571x1.286]FQWP0IoO+1FZLLkdaO8ZLFmEjUtE1Cz28PYCGsRzPkv4rZiEoVx2wLN/ykjFevsb[/tex][tex=13.214x2.0]F+ehlUHSlMNJnD9bwdvHfvG3PZKFAjt1l/gZaejV46TnOBiN33vHENDkeZi5LZNr[/tex]，也可用连续定义证明)。