大量实证研究为要素投入间的替代弹性提出了另一种定义，这个定义最初是由艾伦(R.G.DAllen)在20世纪30年代提出来的，后由宇泽弘文(H. Uzawa)于60年代加以提纯。该定义直接建立在以生产函数为基础的替代弹性上:[br][/br][tex=6.5x1.357]OHYOqpT6+DHmLuDA7ADk+KwTSEQ4U9eQ4CY2uGe6eMweYyGpsTFWj9tTntt4MBcX[/tex]下标表明了生产函数对不同的投入品价格的偏导数。很明显，艾伦的定义是对称的。[br][/br]证明如果只有两种投入，那么在柯布一道格拉斯的情形下，[tex=3.071x1.214]ymtLgZ6BkBaWfNAo9e4vMA==[/tex]，在CES 的情形下，[tex=2.5x1.214]tHe1VTaItPs70ZBaX+8+Yw==[/tex]
举一反三
- 大量实证研究为要素投入间的替代弹性提出了另一种定义，这个定义最初是由艾伦(R.G.DAllen)在20世纪30年代提出来的，后由宇泽弘文(H. Uzawa)于60年代加以提纯。该定义直接建立在以生产函数为基础的替代弹性上:[br][/br][tex=6.5x1.357]OHYOqpT6+DHmLuDA7ADk+KwTSEQ4U9eQ4CY2uGe6eMweYyGpsTFWj9tTntt4MBcX[/tex]下标表明了生产函数对不同的投入品价格的偏导数。很明显，艾伦的定义是对称的。[br][/br]证明[tex=6.643x1.429]eQCtVxZ0Lf0uOP/Wsle0dO+O9qj78e7I316Q0kXEkgW1ZOgNBgy79MIxNwEE0oSe[/tex]是投入j在总成本中所占的份额。
- 大量实证研究为要素投入间的替代弹性提出了另一种定义，这个定义最初是由艾伦(R.G.DAllen)在20世纪30年代提出来的，后由宇泽弘文(H. Uzawa)于60年代加以提纯。该定义直接建立在以生产函数为基础的替代弹性上:[br][/br][tex=6.5x1.357]OHYOqpT6+DHmLuDA7ADk+KwTSEQ4U9eQ4CY2uGe6eMweYyGpsTFWj9tTntt4MBcX[/tex]下标表明了生产函数对不同的投入品价格的偏导数。很明显，艾伦的定义是对称的。[br][/br]证明[tex=0.714x1.0]JoBCgGhCGO3e8DfvIOlR0g==[/tex]对投入j的价格的弹性与 Alen 弹性有关，其关系式为[tex=6.214x1.357]yrkeDbMxLP4SqV4ODT8No0LxXbYSTSAuOhcXSFv7+KDIridB6KpsP217Q8tKFllJ[/tex]
- 考虑不变替代弹性(CES)生产函数, [tex=14.643x2.429]t7tiX6PCxLSY3iS/ClVDEK2L8+ZMII6hM+OEi4T9asyPugQu45Q1BggFsF2VDUX3xsUePxI1SqwXpM9q5nTbNGq4YklXuGUcCULnN6j0tli2HCP+DKQb1JJprG6w+yAM[/tex]( 其中[tex=4.786x1.071]zp+RAClFFz4rRP3uIGLiVH7Mn8AUzrU9xBygPnfa9ws=[/tex] 且 [tex=2.429x1.214]kVuYi4TBvGah7dzdq5f2pw==[/tex] 。 [tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex] 为资本和有效劳动之间的替代弹性。在 [tex=2.643x1.0]j7M8rEUXdTjhaaXvBNM8Ky+ubNiwHKMSP77DYgvFls4=[/tex] 的特殊情况下，CES 函数就成为 柯布一道格拉斯函数。)证明：该生产函数为规模报酬不变的。
- 尽管我们关于不同生产函数的替代弹性测度的许多讨论都假定规模报酬不变，但是在很多情况下该假定是不必要的。本题将描述一些这样的情况。( 1 )在脚注6 中，我们证明了，在规模报酬不变的情况下，两种投入生产函数的替代弹性可以表示为:[tex=4.429x2.643]SkH91d4/U/7cidpAa3dhQTZrjqw2M357E5mWDEAnN8Y1wJQg62caaWBrCOL24GmF[/tex]现假定我们定义了一个位似的生产函数:[tex=7.214x1.357]HhLBfIZHIJfp4OQXYdxDmkYEtGoP9SxcQyY5GyLZyRY=[/tex]其中，[tex=2.429x1.357]WP/6WEDMGlHdHLayrR0KBA==[/tex]是一个规模报酬不变的生产函数，[tex=0.571x1.0]TTplrYCukzr0Q6LQ5f7qtw==[/tex]是一个正的指数。证明:该生产函数的替代弹性与原函数[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的替代弹性是相同的。(2 )证明:这个结论对于柯布-道格拉斯生产函数和CES 生产函数都是适用的。
- 考虑不变替代弹性(CES)生产函数，[tex=16.143x2.0]v4tsUiMxLcpkdVZy6SXnSqU8nb+O9SJg3riMs1AJW1/OATAu4ws8Svk4bNBE2fq1EUfPZyPBHEBbn5MSFDvvZIMcjh9N7+EhsVDpH/RyBoIx1jB1Dew95G0PdgXUAuSm[/tex](其中[tex=4.643x1.286]b+jWyaYybmCzLUaYEPQmlS9XtJOLuIKQejyDSb5Fg3A=[/tex]且[tex=2.357x1.286]IBpIvrSN3lTOuw2lJw1LoSJHfq37DUa1kF5mqhadccU=[/tex]。[tex=0.643x1.286]LTFTesLIJc93sanD/R60mA==[/tex]为资本和有效劳动之间的替代弹性。在[tex=2.571x1.286]xpj4Ew8vc7ZMeXJfr/yLzhLAHJC2DK+K/Q0s29x7sKo=[/tex]的特殊情况下，CES函数就成为柯布一道格拉斯函数。)在什么条件下该密集形式满足稻田条件？