求过点 [tex=4.0x2.786]EWdpSuGc4Ke6fCPDU2n15W6ahcpoi5dwHjY0NBPHIhI=[/tex] 的平面，使它与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小.
解:设所求平面为 [tex=14.143x2.143]FqOxtg5MheGuIlMiuKabtsLOzhKkYXeAG5hkeiQs98LmUs1pWXdG9cWclZfp73WsXFX0T+VkRAGLvVn0tmeCDg==[/tex]则它与坐标面在第一象限内所围成的立体体积为 [tex=4.071x2.357]xS7LAhGhGIQYUfuxUzJEchNehzJqYWNnnvZ/iCiKIAE=[/tex] 故问题转化为目标函数 [tex=1.429x1.0]4+p8YpcwMGV0MBCPM/iOWw==[/tex] 在条件 [tex=6.357x2.357]GqWQFoIippNTwqLFGOejXYAvOWZFsXZXW26rdeKxaAMSBdjZsGLRFMqIkzlm5zkr[/tex] 下的条件极值问题.令 [tex=16.214x2.786]R1YvoSHzjfcG0c9QCXLhFXJTX1nHz9rE7P2fn7ef2jlCR+/cgfNl45zw0FrxH/aFChOacUimdCLojzG7EQ1iNRw6LgFbMpFrKzVYtpkFXQbrzD5CfW0MzgNqqMikHJwf[/tex] 则[tex=6.429x2.429]fA9W5Y/rzKn3teq+acgvmeSV1S9ENRcb/pB0bVtLas6kQAxzh1Z5MEX8GUl65t/G[/tex][tex=6.214x2.429]TbETkgPvW0utkfYsGJ+W6D91y6EI7hCm9QCVezV1uRJM6F7XpQdt1qeQbNdtX3Er[/tex][tex=6.714x2.429]kn70QnHwH2Z7OYpAfLInQ8GSL485MSPf8y8bgvFeLY+xTE402RjoBNrlOJ2Tn9RT[/tex][tex=9.643x2.357]s5RFXy6EeAp4zc1LKRPgZ3xRJmnYj51E6K/Zk9zT9DgLJJHTCii23uBnVW6sWYfxPf/TyeYDOqPZiE49OeU4aA==[/tex]解得唯一驻点, [tex=5.786x1.214]2N5IM7HW2tq2nn76wsbcow==[/tex]由问题本身可知,最小体积必定存在. 故 [tex=6.0x2.143]UBVOAWvSOt5L7SoU6aTwjyjSeExJPRimLhfau5AkbsHDwKhIgp6W/v7HLyUjYRH0[/tex] 即为所求平面.
举一反三
- 在曲面[tex=5.214x1.429]KrKXdZekVXZ3YMba2MmkFg==[/tex]位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体体积最小。
- 在过点 [tex=5.071x2.786]r15t12WUs8GDlxeqzT0hnlk2HshV3xfVUs/a6VU17IYPxwN6C/NELn2Iben56tDt[/tex] 的所有平面中,哪一个平面与三个坐标面在第一卦限内围成的四面体体积最小?
- 求抛物线[tex=2.286x1.429]UkfP67e9FepbHKgkEPFDeQ==[/tex]（第一象限部分）上求一点，使过该点的切线与直线y=0，x=8相交所围成的三角形面积为最大。
- 在第一卦限内作球面[tex=7.0x1.286]QwY3CbnOdl+ukx2Eamho1NwuDTI12DGf5Yflz2yY1/E=[/tex]的切平面，使得切平面与三个坐标面所围的四面体的体积最小，求切点坐标。
- 在第一象限内，求曲线[tex=5.214x1.286]DnQmIcPjqSgaajclb7JYeA==[/tex]上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴围成的图形面积为最小，并求此最小面积。
内容
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求柱面 [tex=3.929x1.429]/zgqabtImeIaKGhfpDlfIA==[/tex] 与三张平面 x =0, y = x , z =0 所围的在第一卦限的立体的体积。
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在第一象限内求曲线 [tex=3.571x1.429]JlzPow+VPYUPM5dN+2f30A==[/tex]上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积.
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平面x+2y-3z=6与三个坐标面围成的四面体体积是6
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设一平面与平面[tex=5.429x1.214]U6jH06+DqlKNlU7fLry9TQ==[/tex]平行，且与三坐标平面围成的四面体体积为6，求这平面的方程.
- 4
求曲面[tex=7.071x1.286]HbjZ1rODsOcsf7KpwkxObJ9dXfDpSBW5po2BTBOkOGQ=[/tex]与[tex=1.857x1.286]j9TayWzddHzM0PQ/gL6C3Q==[/tex]面所围成的立体体积．