在曲面[tex=5.214x1.429]KrKXdZekVXZ3YMba2MmkFg==[/tex]位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体体积最小。
在曲面[tex=5.214x1.429]yDSXjLREbWCkTMu911kmsQ==[/tex]位于第一卦限部分上的一点[tex=4.286x1.357]lBzGKYw9e64r/B1Okv1pCgzUNTgGShSoQzQLZnWjExzOrweNGbvXtooOR5ow1+/X[/tex]的切向量为[tex=6.5x1.357]Vplof9VdFG3b79ch5uEz5ACKdsPtXDnvc9bvQe0BX1SmgoodbZajIxDXrWAFQAYg[/tex]，该点的切平面为[tex=15.643x1.357]QECthiFmfmYSHlV/+BD1x+kprucFmwL1nRBNTCq6jpcxNZHVnTtQWiiSeu5Ea7l38nMBzcwMfFh0HSSPpGv1uY5+6LieT0TO6P4fUJdRkPg=[/tex]与三个坐标面围成的四面体体积为[tex=4.714x2.714]uQ85Hu7LGmf9yItd93eSYy3wB9TPFXodq8TokxrHKek=[/tex]，设[tex=16.786x2.714]ngPQAzWdIy95xJg9onOvQVPalDXYA0oZdLEmTFQQbRtbufnqgo32wqng71CQUYK4bc/EWbUH959WtWFnuZppa/MBKnWOzuYC1ZV5MkXj6N7KVnxcVysEqm/navQEKGYc[/tex]，令[tex=11.786x10.214]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz4FjjsXhJVXp8srncgpMeJnWpwXTndBfoH4I+1WlES57XsxIMEGhfNrWLhP+NNeHxot/sf3lemDfErtTJWswSpEqKZw0uOJmx9VtwcJw+RmchiX4dttjxZUzZ4B3pOCSClbBIwMKzvNKe/QMjMCLQEE/Oan93L31T/3havd5asGrZNLuJBriF4CYCtR+XsrKPlj1q7oiq47/KGLs16h7Rc9HFyNaJ4KkN8ZrwGjIWvh2O+DO5wrwos/gCzCfXt5nDBzMtv02zulGBoqPuVZMvbv4ThEyHxBjO125Wy1pR/XA[/tex]，解得驻点为[tex=15.857x3.357]zgj7whFTNsgXR9MH1zjoFB7ihsdeX9+e6CdQQdroC5IlfNwuQrDySrlNJbFMrxPSHskx13MwYkUbAPZO6EDc+0tjlZiL2iJvglymINwGav41aqRUTUsWQtb5WxPuJYY7rWRx0/PrsNCFrsU5F9KnHQ==[/tex]。又因为点在第一卦限，该四面体的最小值存在，知所求点为[tex=6.714x3.357]zgj7whFTNsgXR9MH1zjoFB7ihsdeX9+e6CdQQdroC5IlfNwuQrDySrlNJbFMrxPSf6ju5phWSItH8aGaMYF0MA==[/tex]。
举一反三
- 在过点 [tex=5.071x2.786]r15t12WUs8GDlxeqzT0hnlk2HshV3xfVUs/a6VU17IYPxwN6C/NELn2Iben56tDt[/tex] 的所有平面中,哪一个平面与三个坐标面在第一卦限内围成的四面体体积最小?
- 在第一卦限内作球面[tex=7.0x1.286]QwY3CbnOdl+ukx2Eamho1NwuDTI12DGf5Yflz2yY1/E=[/tex]的切平面，使得切平面与三个坐标面所围的四面体的体积最小，求切点坐标。
- 证明: 曲面[tex=6.429x1.5]CVlADWnigjoCB0pom6sf4Zu4qSy0dG7AaWNOoZECzWU=[/tex] 上任意一点处的切平面与三个坐标面所围四面体的体积是一常数.
- 求过点 [tex=4.0x2.786]EWdpSuGc4Ke6fCPDU2n15W6ahcpoi5dwHjY0NBPHIhI=[/tex] 的平面，使它与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小.
- 在椭球面 [tex=3.929x1.286]OgRXGBnuYUkrpNulxRW68D36NV9X5hevhTpuCfbJIg4=[/tex][tex=2.929x2.143]vQKCqDgpTqiKKo6E1S8dWFJ8otrNLUkBBT+QQL1zGoQ=[/tex] 的第一卦限部分上求一点, 使椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和为最小.
内容
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求平面 [tex=3.571x1.214]XMiD5qORryvnWViKUitP+Q==[/tex] 上被坐标面与曲面 [tex=2.357x1.0]/qCY1riP1us6y5Us5CjF4Q==[/tex] 截下的在第一卦限部分的面积.
- 1
试证曲面 [tex=3.286x1.429]3/XY59Ie6JLhY2hOXiqA/Q==[/tex] [tex=3.143x1.357]cRVgfIi1JsBkKO0T/5wGlg==[/tex] 上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 [tex=1.643x2.0]45ZKaHM3BOm6HXQtPMZX504sYHNwkAO1AVqylOcdMPg=[/tex].
- 2
证明曲面方程[tex=3.786x1.286]nEk3wEvafzMTCSUbK4udyIfT9x+v7yH7RgcUVkwV35I=[/tex]（[tex=2.357x1.286]NmWLUlTOILHDfw7uqfi4DQ==[/tex]，常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数。
- 3
曲面[tex=5.214x1.429]UC08vJOZwFFkxTgDpsfNfA==[/tex]在哪些点处点切平面平行于xOy面，并求出这些切平面
- 4
求抛物线[tex=2.286x1.429]UkfP67e9FepbHKgkEPFDeQ==[/tex]（第一象限部分）上求一点，使过该点的切线与直线y=0，x=8相交所围成的三角形面积为最大。