若n阶矩阵A存在正整数k，使得[tex=3.0x1.286]k8QEvRxNknQhSHvmEXi5iQ==[/tex]，就称A为幂零矩阵。设幂零矩阵A满足[tex=3.0x1.286]k8QEvRxNknQhSHvmEXi5iQ==[/tex]（k为正整数），试证明I-A可逆，并求其逆矩阵。
举一反三
- 利用归纳法，计算矩阵的 k 次幂，其中 k 为正整数：[tex=6.143x3.5]jyVOORWehIbTNQvvtYroWom4ftgIPM75qtRucml9n0cjvC03ojzDcdWYbOOgdxIVc3NEiFxjZRmnlzGmZA2rZU+R7lOfP9v6ifKDuQO9R3WmZ5V6fs1l4qqxNvgsao9y[/tex]。
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶幂零矩阵, 求证: 对任意的正整数 [tex=5.786x1.571]n9RjXBg9sl8iOmRqXAuQkXfel3vyOdqwuBEB7DSJhvb74hZQPKrffvQ49SHO3ZK8[/tex] 反之, 若对任意的 [tex=8.143x1.571]/X+kzGHeoFvFUAhRc3wSfrdSoeGiSOYrnXXHahsNgdC7Tt7NY6kzMhnlaOUw5hF7s4a2ululzFWE3ldZEGREzg==[/tex] 成立, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是幂零矩阵.
- 设A是实对称矩阵，B是正定矩阵，证明：存在可逆矩阵C，使得[tex=2.929x1.286]3i0pjaq5F6I3ye+wcKK5Z9B1VPXaHmRscXnnXZdS5mo=[/tex]和[tex=3.0x1.286]3i0pjaq5F6I3ye+wcKK5ZwXg+VNqhtjbG92Px6HUISc=[/tex]都成对角形矩阵。
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶奇异复矩阵但不是幂零矩阵, 求证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于下列矩阵:[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vH23NHniMlEwXxHZzPyoM7wGtHPfHuUKUfQduivoh2saWB5iDW+hBFaG9wzMvmDk1Q==[/tex],其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是幂零矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是可逆矩阵.
- 如果n阶矩阵A满足[tex=2.714x1.214]4L/EWHoLeKVwR1IkyZAsSQ==[/tex]，则称A为幂等矩阵，试证幂等矩阵的特征值只能是0或1.