设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, 证明: 存在正交矩阵[tex=0.929x1.214]RjlejK6D6JSwVAeYdCSJQw==[/tex] 使[tex=3.0x1.214]sB4xfIAsxjRA9L6QcVI97Q==[/tex]为三角形矩阵的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值全是实数.

2022-06-29

设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, 证明: 存在正交矩阵[tex=0.929x1.214]RjlejK6D6JSwVAeYdCSJQw==[/tex] 使[tex=3.0x1.214]sB4xfIAsxjRA9L6QcVI97Q==[/tex]为三角形矩阵的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值全是实数.

答案：

证明: [tex=2.071x1.357]tAnSVlhpU69fzLMOx1AYOA==[/tex]设有正交矩阵[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex] 使[tex=14.071x6.5]GV+lEkj3iXHdrBSIIa/EZhiulQQCHKvbnG3HQagTheOebL1VEcRxdty0mmnFyBA5VJpT/P2RDJHSwN5gemHTiaVeDWGIfJeuWWM2xh2h8mwsBZmgfV8A/ZwUQEAJXlqLoEKvwlTbKhuoEddmgEcOn0ZCkl7/JKmBNRosy+5IsS0=[/tex]则[tex=4.429x1.214]17ZxfaDG0ShhAtWo3TN3rJ4oP0EfUBlCqrD/TBoSdK0rdoNDvzTfxihzkHVU5GYa[/tex]恰为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个特征值. 由于[tex=1.786x1.214]fT+D0XY0d5dtUuLK7+N81g==[/tex]均为实矩阵,[tex=3.0x1.214]3LPwI+Ms8uWX4W/wZJKnrQ==[/tex]也是实矩阵, 故特征值 [tex=4.429x1.214]17ZxfaDG0ShhAtWo3TN3rJ4oP0EfUBlCqrD/TBoSdK0rdoNDvzTfxihzkHVU5GYa[/tex]都是实数. [tex=2.071x1.357]ruN7Wa275zM73zDgFCFxjw==[/tex]对[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]用归纳法. [tex=1.929x1.0]iy49FZmj3Bn8sRaLZpfrEw==[/tex] 时结论显然成立. 现在假设结论对[tex=2.357x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 阶满足条件的实矩阵成立. 考察[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex].设[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维欧几里得空间, [tex=4.214x1.0]4gXy3iAFBmTxApqrXshK0jzonUF75J2jstmpm35tqk0=[/tex]为[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的规范正交基. 令[tex=5.286x1.357]Uz6zY7+K3Dr2aWuheNevVXtOqCMHPbyiXNbMGhL8JIQ=[/tex],使得[tex=13.786x1.357]6qZJGteU8xHET5aybixrxENv+B+zLUtPvg3VSnhjUOgdpfes0MXEvxbvk/ERc5XnBca6kGTe4gZjGLEL9EH4o216g4uw2TmdzldERO4cySh2isJjceH0dRG4fQdHmKUg[/tex]设[tex=2.929x1.214]TPgpo+hbnaT7/FYcXwH9HU4thNyUxTXK+pklxoZ81X8=[/tex]为[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的任意特征值, 则[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]也是[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的特征值. 令 [tex=1.0x1.0]E4FovvvmKFxHayApGHhrvg==[/tex]为[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的属于特征值[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]的单位特征向量, 则 [tex=1.0x1.0]E4FovvvmKFxHayApGHhrvg==[/tex] 可扩充为[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的规范正交基 [tex=6.214x1.0]7pNelk4HUVBg38zOC/iSU4qcidaWxt6ECcmgBerVFMRvbIxD3xPI+LIlsOD6fEzL[/tex] 令[tex=19.714x5.214]Npmb754Ia7765OFsCzeNxeRZkzMwRAPUaMGpuBowOWHtYUXlVmuOi5/mTZFviA/Hidwm7WviA129ia7UicLaVQUVOrIXQJUkFHzBg4ZaM1pC9iNU3Zz6WRxejoHTgdpQzOhY0ppVCZBjnHwUR+KQAIRQ51SpkHEcW9Mf5gtHoiAUpea0eR/Wpc3gn4lJu1/8AukG8nZGlGf83DHBx6upkA4w124LDCCFJ0Gu8wH54TQfLrFG3JrSEkYVgraYNSbG9KWtU3qzc7KnxM9MGdmccSklL31ot2DQqbS+vZdMkOw=[/tex][tex=12.5x1.357]dkFqP9douoW489ZYYtuJWmtu0xdNrAGk9aIWbJVSmeuk2HT6WD5DY3xLAn/FexgBsmo+7mGfYsaZuGvMHYzjRiIPiT9oUV70UBve9bxMo9cw464JzDsUF3eY/MoW5yRp[/tex],则[tex=1.0x1.214]oRPUaRXqLpUA70qsP8lMlg==[/tex]为正交矩阵, 且[tex=10.071x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vAY+RCCnGwTz5TtfSRYZ9/YXTKAI92x4BYrzmW2A7SmNQZruBqcHQgyHVnKsHeYSd5fgvdQykRnPsAn/N6CamGny6GfYdS5qkHfvGg7qxZRa[/tex]易知[tex=1.143x1.214]R0Bx+ybSEpubLRkiLymmmA==[/tex]为[tex=2.357x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex]阶实矩阵, 且其特征值全是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值, 从而也都是实数. 归纳假设, 存在正交矩阵[tex=1.0x1.214]fAl+u9ByX3Xh5aYofAeu9Q==[/tex], 使[tex=12.786x5.286]XFVs65XO+LgFuPUA6QonOge2A7XB/3YRjMhuu3fxolXNRe/M/F1gU9fVOPaNUCqq7HknyvEgdw+a/XZFnAtYCeodi6+fgyIxDLi/uvDV7Xsq1BHyWk6ZfkJRqzMVjcxNL8SL+ICA8JENBCP2rgAlYg==[/tex]令[tex=7.429x2.786]zmiJ9cCZn4IbzDrO6JAbFfpuMpQYeKO7uwDN+c19OKpkwS9Vxgq5/Op97ZatP2FtKaJ7NQ8r85U7fkACNIoA2vszCmHGLycyXae5NJv+FdY=[/tex],则[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为正交矩阵. 且[tex=14.071x6.5]GV+lEkj3iXHdrBSIIa/EZhiulQQCHKvbnG3HQagTheOebL1VEcRxdty0mmnFyBA5VJpT/P2RDJHSwN5gemHTiaVeDWGIfJeuWWM2xh2h8mwsBZmgfV8A/ZwUQEAJXlqLoEKvwlTbKhuoEddmgEcOn0ZCkl7/JKmBNRosy+5IsS0=[/tex]由归纳法原理知结论成立.

举一反三

内容

0
设矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，且[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵，证明： [tex=2.643x1.214]RXNYPSeOxp2KYb7ZxErkfA==[/tex]也是对称矩阵。
1
若[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足[tex=5.714x1.357]gHrEoMXRoYD6ylIB8k+Dmg==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为[input=type:blank,size:4][/input]。
2
设 4 阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足条件[tex=13.429x1.571]pNXwj7dxoGbcprO3/HATinbMcrt8sC5y1uPd3TRH6ssCiv8WtIXVXb9cSHXuJP20[/tex], 其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为 4 阶单位矩阵，求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有一个特征值。
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵，[tex=6.357x1.214]ktGtmiDKstx7m1f25N9jwZT5aYsjOrhIKRDobbavw6Q=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个特征值，求行列式 [tex=3.357x1.357]m48DvRt0hjjMuVqGpYAvJg==[/tex] 的值.