设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，且[tex=3.143x1.357]UJPO4W988N9GD+L2qw/VKw==[/tex]，证明：存在实[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]，使[tex=4.571x1.214]0/KaLJMUhPX6ftFvgZrv+0XmVzxZcEeSyap5HbYe7CM=[/tex]。

2022-06-29

设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，且[tex=3.143x1.357]UJPO4W988N9GD+L2qw/VKw==[/tex]，证明：存在实[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]，使[tex=4.571x1.214]0/KaLJMUhPX6ftFvgZrv+0XmVzxZcEeSyap5HbYe7CM=[/tex]。

答案：

证 存在正交矩阵[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]，使[tex=12.643x6.5]Ard4WbqRUgBQtIb8RKlQrwAW5K/sVtANsuU7K9CJDRnMs7Y/RtxQNYBx4MCU3f065r9O/quGFn9DYIOpdUlHhy3+H7FOTlorHmgxIkfHTXj9Tg6Ca48ntBVgWgFfebfsO+cClxSNoa/N7IyYeMHIHe7hVkQ3kL0bmFKlwMRo5bo=[/tex]，其中[tex=1.0x1.214]xPJ1hCmvqITeEPzCfT1lOQ==[/tex]，[tex=1.0x1.214]sFXbnVgW/BNxUd/jwYZvjA==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.071x1.214]g2gJwdm/HzN/P8450b3mMQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的全部实特征根，又[tex=6.571x1.357]GFUQHrWkzlOflVLPlVgP4cv3VoCUxtTr9wTir4GLwfOSxbEByKMj4UCkiDKQPVnGnEa1iz1nN2UPxvQ/OYqjgA==[/tex]。因[tex=3.143x1.357]UJPO4W988N9GD+L2qw/VKw==[/tex]，所以[tex=1.0x1.214]xPJ1hCmvqITeEPzCfT1lOQ==[/tex]，[tex=1.0x1.214]sFXbnVgW/BNxUd/jwYZvjA==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.071x1.214]g2gJwdm/HzN/P8450b3mMQ==[/tex]中至少有一个小于[tex=0.5x1.0]XY6YYp8hrFkvsD3cyFa49A==[/tex]，不妨设为[tex=2.786x1.214]A2T73H4gTV+Q5MK/b5Sf8xB6exvnLhqr98Wt5zlF6n8=[/tex]。那么令[tex=3.071x1.214]oHAYaqpetfB+JbjQKZ8ZnBeYDhDbE4k8Y8PePOtPs70=[/tex]，其中[tex=0.857x1.0]3IkL60xidUqyyuOciU6brPrQUy3DU4eOQtTZLL6oC0I=[/tex]是第[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]个分量为[tex=0.5x1.0]AYXQx0BMtpSPsr4BfOe2YQ==[/tex]，其余分量都为[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]。的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维列向量，那么[tex=2.714x1.214]Qw8pOrIz3TvspleB26JBfA==[/tex]，且[tex=15.357x5.214]r0H1CITb2Rwo4GpaH5O+z/3WyNlgr+HaZJ3vMAbpmF65H8YhUa8hnNqvFLEWfgCdIEd0rJnmI16mYV6GMQGPJGzkSqQDMkGVyv1S33F/4sE0DwIUteO+gw9TG9iA6enDSxyffNujfLr4alL2jfy6PyWczHHvPpRoAjfoZGKzBafhRi7kqN3ebk+5zNAbgGR7[/tex]，[tex=6.286x1.357]9tSxSthLEqFvqJMEIA66v37KXJkbIt2cSg4AkRP/BOU=[/tex][tex=8.929x6.5]oe11HVlBpgnqVUEEYpbT7phmfh19vx//ikAX/63vTOM5Gct2EyPoTTlf8DHKbPmbI7gMdNnkLAKgwxm41yfoZnzEpIgtqG3OpoD6vsrZnPiVPHXmjflcu/ueOGOar5SnbwdyBJ7n2kS90UQojqo/iQ==[/tex][tex=7.786x5.214]075gCzZzsMRb6HYXYk9X9+eh0OKKab18zHZzeTKGqRYQUuJH8WJIOuIRrylMwPdHtN++vZbmgldoaCzjiQS/mIrQfoMmulWXeilJ8/3Gxhrv6z2G9h/4HiMNI0hgv0rF[/tex]。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵，证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是反对称矩阵，当且仅当对任一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量 [tex=1.143x1.214]v57PrtvcRANvjTjSZkCHmQ==[/tex] 有[tex=4.5x1.214]7kFxBTR/JmxkA2BxZVmmrA==[/tex]
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵，证明:若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是对称矩阵，且对任一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量 [tex=1.143x1.214]v57PrtvcRANvjTjSZkCHmQ==[/tex]有 [tex=4.5x1.429]15pNkwSKAI/4xStQz3DLfw==[/tex]那么 [tex=2.571x1.0]WPtNkIUX8epXX87iaYQs6w==[/tex]
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
3
证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实对称矩阵，则存在一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实可逆矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使得[tex=2.714x1.214]lzPCT5yF+LgDKywlyUEMYQ==[/tex]与[tex=2.714x1.214]Aq6HwIZW7B8JTiPGula26g==[/tex]都是对角矩阵.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵，并且 [tex=2.429x1.214]3DIgmzGG9qJBrRCPoJoIjw==[/tex]. 证明[tex=2.357x1.0]6tTh6rsLh84+IwljT6w71A==[/tex]。