设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=3.429x1.357]Dt2CyVOo2zgCzBMWt8ghpw==[/tex]上两次可微，[tex=3.643x1.357]nJ281dB07Q5u/6jyXxdDXw==[/tex]，[tex=4.0x1.429]G9AWbPlmNZXLrewEKQ/RkA==[/tex]，[tex=3.429x1.357]QLWaxXQe+Vb1dzN3hgLB2ofCP4vyTJN9cim5UPyo3Ho=[/tex]证明方程[tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex]在[tex=3.571x1.357]AUjXTD9IX/KzM2nb6NL7ng==[/tex]内有且仅有一个实根.

2022-06-30

设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=3.429x1.357]Dt2CyVOo2zgCzBMWt8ghpw==[/tex]上两次可微，[tex=3.643x1.357]nJ281dB07Q5u/6jyXxdDXw==[/tex]，[tex=4.0x1.429]G9AWbPlmNZXLrewEKQ/RkA==[/tex]，[tex=3.429x1.357]QLWaxXQe+Vb1dzN3hgLB2ofCP4vyTJN9cim5UPyo3Ho=[/tex]证明方程[tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex]在[tex=3.571x1.357]AUjXTD9IX/KzM2nb6NL7ng==[/tex]内有且仅有一个实根.

答案：

证 存在性对于[tex=3.571x1.357]IUX4mFNxJAYc4Q0sh1xbRg==[/tex]内任一点[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]，根据泰勒公式有[tex=17.357x3.929]fWAAuD5I5Mwiiu6SjsiCqg4PhcwVuY8gstpMwS08MuJ4hVXsplUk63GWNSlr2UyH2TGSHk9OQfLvhCvnSnsuurlhD6OjYYUtZDuq702M3kgBN9GeLK7+NpXRBV1y4Gd4jD/kc58uk+X2Ja8d+DLjjIKrm7N1jtJyHINaUc7KpgI=[/tex]因[tex=4.0x1.429]Lp8KhkNyKz5e0lhVFUWU01qbIQX0AoEACKUhayeOBkE=[/tex]，故[tex=13.643x1.929]ENxIatiC2yqgaopSQCG83kmn5LicVX/V5HBIlvWST6BvKveeNmmgiy9E1xEx4d6LOGWnf6+JJHZOxbThcXiWij0AO/cgXFQQJ5/2uyUQZgI=[/tex]，于是对充分大的 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]，有[tex=12.857x1.429]Tm1lbXkuKd3Blf7kapt9nLI5xLQBh7dQZfrmwFojW4OLjrftC/bgOIMWoMTKtEY/[/tex].故存在[tex=5.714x1.357]QYlJ8sEFYWN4z1D2bWFWgNuyhtlYdS+5mfRS1Dsc5F8=[/tex]，使[tex=4.214x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDIohJkSbEzXibAX76Ly17ZE=[/tex].由题设可知[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]在[tex=2.5x1.357]q1/E3A7cmE1MrIojz1qHGYX0EsQGdwSqRM96Xhx9asA=[/tex]上连续，且[tex=6.0x1.357]ln+UtR3SDmPi0kbrJY8mdChruYrRpv4/LgxQDjfQb1g=[/tex].根据连续函数的突点定理，至少存在一点[tex=9.214x1.357]fuxcAyhC4wsms60d9Xsdz8TaTbBAphGE1yGTRIOofK5g/+nKqmEuswfJ8FTZNfhLoAEwhbOeRv7D667qYbYsew==[/tex]使[tex=3.571x1.357]LbNzANZtjyC7VENhFNLL4Q==[/tex]，即方程[tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex]在[tex=3.571x1.357]AUjXTD9IX/KzM2nb6NL7ng==[/tex]内至少有一根.唯一性 因[tex=4.214x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq3+WFf1WWkXmcakd2/grAVQ=[/tex]故[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]在[tex=3.429x1.357]Dt2CyVOo2zgCzBMWt8ghpw==[/tex]内单调减少，当[tex=2.5x0.929]vZp7e6FwxcyTqLZwD99SOQ==[/tex]时，[tex=7.5x1.429]iFiomtqQ3AuGkfErdOg86IFjU4FjXkEj7x0QOv1gYPk=[/tex]，从而[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]单调减少，所以方程[tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex]在 [tex=3.571x1.357]AUjXTD9IX/KzM2nb6NL7ng==[/tex]内至多有一根.综.长所述，方程[tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex]在[tex=3.571x1.357]AUjXTD9IX/KzM2nb6NL7ng==[/tex]内有且仅有一根.

举一反三

内容

0
设[tex=3.429x1.357]Z36AEPLbx4JfyrHPfLY1gg==[/tex]具有性质F，[tex=3.571x1.357]+06OwmLRwFoUAk4Z/SZg7Q==[/tex]具有性质G，命题“对所有x而言，若x有性质F，则x就有性质G”的符号化形式为
1
若多项式函数列[tex=3.429x1.357]rs1NJeb245xTnFm4wHvOkDLjwQTKVfHV8LjLj/z71ck=[/tex] 在 [tex=4.786x1.357]WafKDm5071vVz9IYJgBhj8LbdrnQF2M50OcMtr5E7Yg=[/tex]上一致收敛于函数f(x)，则f(x)必是多项式函数。
2
若:(1)函数 f(x)在点[tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex]有导数,而函数g(x)在此点没有导数;(2)函数f(x)和g(x)二者在点[tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex]都没有导数,可否断定它们的和[tex=7.214x1.357]oX568MWmpJJk2c1dN8FEzQ==[/tex]在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数?
3
设h为X上函数,证明下列两个条件等价,（1）h为一单射（2）对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]3BrfPgAFe5dbHQTMAYnbS+118W4YAj6CiW06EKMaxNI=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]
4
设函数[tex=17.0x1.5]3Qc8zAEodU/NXu/GRWXrWjA+U7BzHxYC9q1rJiEDxXAtMY/8hbCNs0nDXw4B8DhUK+HRgcuSMWGXl6kpCZNjFA==[/tex]（[tex=5.643x1.0]O9qGQWb1YzoOCaRetv+AwVqYli7CsYhCf8ic6LfFqw8=[/tex]为实常数)，证明： (1). 若[tex=3.071x1.214]Iigx1lsMFuJFc9Rt9KemEw==[/tex] 且 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为奇数，则方程 [tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex] 至少有一负根。 (2). 若 [tex=3.071x1.214]b7/onK93Rg693Rvz+06n0Q==[/tex] 且 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为奇数，则方程 [tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex] 至少有一正根。 (3). 若 [tex=3.071x1.214]b7/onK93Rg693Rvz+06n0Q==[/tex] 且 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为偶数，则方程 [tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex] 至少有一个正根和一个负根。