设 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是复数域中某个数, 若 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合某个非零有理系数多项式 (或整系 数多项式) [tex=16.857x1.5]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0BbQ3hSgwsxqFxv3TKY6B/83ClKlN986xEwarJDnUpXcRmDYVKafDemmqfBPM8vgsw==[/tex], 则称 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是一个代数数. 证明:设 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合的首一有理系数多项式, 则 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 的极小多项式的充要条件是 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是有理数域上的不可约多项式.
举一反三
- 设 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是复数域中某个数, 若 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合某个非零有理系数多项式 (或整系 数多项式) [tex=16.857x1.5]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0BbQ3hSgwsxqFxv3TKY6B/83ClKlN986xEwarJDnUpXcRmDYVKafDemmqfBPM8vgsw==[/tex], 则称 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是一个代数数. 证明:对任一代数数 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex], 存在唯一一个 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合的首一有理系数多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 使得 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合的所有非零有理系数多项式中次数最小者. 这样的 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 称为 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 的极小多项式或最小多项式.
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于令的多项式, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 等于某个不可约多项式 的幂的充要条件是: 对任意非常数多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 互素, 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以整除 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的某个幂.
- 设 [tex=9.214x1.357]oVr3Dwq4mCJpVeSnaB2gBSqRRI0mgMhbkNKKzB8hCuo=[/tex] 中的一个多项式 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 称为 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的一个最小公倍式, 如果1) [tex=9.429x1.357]m1EBBdKEXv9v36Fy4gQ/+7AP03BpeLROQalNuHobJ3s=[/tex]2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的任一公倍式 (即 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中既能被 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 整除, 又能被 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 整除的多项式) 都是 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 的倍式. (用 [tex=4.714x1.357]hvdzEuFkEvrNjuF8e4Z/2g==[/tex] 表示首项系数是 1 的那个最小公倍式, 证明 : 如果 [tex=4.143x1.357]9L2r5tlh3JJ32yY4a6m3XQ==[/tex] 的首项 系数都是 1 ,则 [tex=10.786x2.714]86eOesvSLJzo0xGCqVDGZjz8QI0p4+K1nnRoxp7vWiIU89VBq3OOdIIooTYE8A8C[/tex]
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 分别是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式和极小多项式, [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是一个多项式, 求证: [tex=2.071x1.357]rp59L9PX0S2MMXkUXRuI+w==[/tex] 是可逆矩阵的充要条件是 [tex=6.214x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXHGQ7amFMmuOXsrvhaPqenQ=[/tex] 或 [tex=6.571x1.357]uV9/iM1kG0lOsQMnXnwhcGBmW9K9yZg2k3NElTekBE0=[/tex].