设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.857x1.357]VmBbVJMXt2JXSfX9IcTKCw==[/tex]中的首一多项式，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的一个有理根，证明[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是整数。

2022-06-30

设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.857x1.357]VmBbVJMXt2JXSfX9IcTKCw==[/tex]中的首一多项式，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的一个有理根，证明[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是整数。

答案：

证明：设[tex=20.143x1.5]2uidhQCzJUviPrvGBVpRlrd0pFm3+fumJCk+6Fb2FkCGK1Z4njSE1ns1mQIaUcedy4J+I27cVcfahFcgKG2p0HGhMV+nhKzM09OuD/cL74zC3VY6iQfwAgXcqJEeK59U[/tex]，[tex=0.714x2.143]GA08w7ItI/58ejH85g8Dcg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的有理根，其中，[tex=3.357x1.214]XMz9CGqOCRJ78dKWspMNFiUy8iDiFgOACmpodiKzC4w=[/tex]，[tex=3.286x1.357]GRLZUhTH1Xou6buGrVeEVQ==[/tex]，由于 [tex=4.429x2.214]aK3Azr+3lIKrpHLtZ4wLLBmrx/OM1g7R4n4+MQf1y64=[/tex]，故作为[tex=2.0x1.357]sI0T8UjRU4l8I9dYCozA4w==[/tex]中多项式有[tex=6.429x2.214]TmFwVPzKilHugFI4a0uPFl8mp7j5EQ0FWOaW+iWXUj8PQ1WOO8ISB+jCa7CCqxiG[/tex]，因而作为[tex=1.857x1.357]VmBbVJMXt2JXSfX9IcTKCw==[/tex]中多项式有[tex=6.214x1.357]PsUK3tI1mT7qs/3R0Di/Lca9wFbndatwnq1XmPQSAus=[/tex] ，故有[tex=30.0x1.571]QWFu0PvEMyMiBg1FqG5ZCzeo+gKWRpwATL3a2kBYzEaq0nAyMMoRPvehuemWSudIKUgaByLExrnkXMg7U43yNyjyTYRY0X4i437Co94SK84838Qnat1idwivCXjjEBvr4zKfCD2O3XPvvikxerUVCw==[/tex]，[tex=3.643x1.214]W6trJGJPPVVy2wZwOJIdbB5fm657ZPDNCrBoTEsYmfA=[/tex]，因此[tex=4.071x1.214]UJmDwJzNKEZPLwYMvyw2zA==[/tex]，[tex=3.5x1.214]1zpsftGM6bQokdHdJGtvRQ==[/tex]，故[tex=5.214x2.143]MAHZic5PhbY3eusLFezOZCaaHE62X3W6SShO/PGx12Owg0NFYWYrIIiqChtgLE67[/tex]。注1：从上面证明可知此有理根是整数，而且是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的常数项的因数。注2：设[tex=3.357x1.214]XMz9CGqOCRJ78dKWspMNFiUy8iDiFgOACmpodiKzC4w=[/tex]，[tex=3.286x1.357]GRLZUhTH1Xou6buGrVeEVQ==[/tex]，若[tex=0.714x2.143]V0T2ULfCpeLYEYUyaPgegQ==[/tex]是[tex=4.929x1.357]W98uKQ5WZdIR+GFOUT/8qHxQd5BZUsPRFlPbDU6Ejro=[/tex]的根，则[tex=1.429x1.0]kx4eZaOLyv0268rTUQdhvg==[/tex]分别是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的首项，常数项的因数。

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 连续, 且积分 [tex=8.5x2.786]BL7n5ddwJNHAhb4R+nxZA5ywU1gR80QQQ33J/mBX1n0oq5p5lu1KM79R224W0TLc[/tex] 与 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 无关. 求 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex].
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数首一多项式且无实数根, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以表示为两个实系数多项式的平方和.
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是一个三次首一多项式, 若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 除以 [tex=1.857x1.143]qwC/UisT2YN1keJwcnpw8g==[/tex] 余 1, 除以 [tex=1.857x1.143]2uk2nqa2ose16j8VD9EoJA==[/tex] 余 2, 除以 [tex=1.857x1.143]BwH92UluDZXeGXwryXZA2A==[/tex] 余 3 , 则 [tex=2.643x1.357]yFaPnH15i/KgCyuaiQF2Qw==[/tex][input=type:blank,size:6][/input]
3
设[tex=10.643x1.357]34qmQkJPso549mvVjIQ1pAcxEUwluJaFgrzRToMAirsdxHHpEwEodeBJrcmfLGQA[/tex].用线性方程组的理论证明，若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有[tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex]个不同的根，那么[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是零多项式。
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次有理系数多项式, 若 [tex=2.5x1.071]UmcDBu0nDM7wGDdKxgvEEg==[/tex], 求证: [tex=1.429x1.429]CHT4LSgbMdocanZXSUSLsA==[/tex] 必不是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.