设 [tex=6.714x1.5]FlGoItqePpYQFyUM/Pyev2hQa3P7ZQGoB+NWKZ2aoPg=[/tex] 是实三次多项式，令 [tex=6.714x1.429]lgereTydM//WzQAtVixZyKFfvx+toNAKeIvrlGTqmDI=[/tex] 证明1) [tex=2.714x1.071]6SLJsKLGa7RDzz0q/hKVSQ==[/tex] 时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有一个实根，两个共轭的虚根.2) [tex=2.143x1.0]nd/lG2Ges1SVZgbYoQnRng==[/tex] 时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有三个实根，其中两个根相等.3) [tex=2.143x1.071]HyOrguZ3VAnEokMQcbbxew==[/tex] 时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有三个不同的实根.
举一反三
- 令[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]是实数域上三次多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的判别式，证明：当[tex=2.143x1.0]nd/lG2Ges1SVZgbYoQnRng==[/tex]时， [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有重根；当[tex=2.143x1.071]HyOrguZ3VAnEokMQcbbxew==[/tex]时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有三个互不相同的实根；当[tex=2.714x1.071]6SLJsKLGa7RDzz0q/hKVSQ==[/tex]时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有一个实根，两个非实复根。
- 令 [tex=5.286x2.5]w4Zp42THVdKRUWaWh6McXYYT5+hmuP5oUewyYwttvP5YQmoSpB8VAdR1QL77qYOj[/tex] 是实系数三次方程 [tex=6.214x1.429]WdQf/RlC+T6vYuYi+YX4MA==[/tex] 的判别式, 求证:(1) 若 [tex=2.714x1.071]kzJdFf4nPeXKhbtP01JMCg==[/tex], 则方程有 1 个实根和 2 个共轭复根;(2) 若 [tex=2.143x1.0]au1nduhIYgjkxMPZw2ynrQ==[/tex], 则方程有 3 个实根, 其中 2 个根相同;(3) 若 [tex=2.714x1.071]8c95v2LCoentTCU4dmXp6g==[/tex], 则方程有 3 个互不相等的实根.
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数三次多项式, 证明: 当 [tex=3.429x1.357]3LCq1/kx41lm0DJyPv60jQ==[/tex] 时, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]dcHR/AMhWBg4tOPVkI9qFw==[/tex] 中有重根, 并且 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]dcHR/AMhWBg4tOPVkI9qFw==[/tex] 中的根都是实数; 当 [tex=3.929x1.357]M3c1JMEQ3Z8PAHWcVJfAxg==[/tex] 时, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有三个互不相同的实根; 当 [tex=3.929x1.357]ahk8fXK8wopdzNwKn3PhwQ==[/tex] 时, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有一个实根, 一对共斩虚根.
- 设[tex=10.643x1.357]34qmQkJPso549mvVjIQ1pAcxEUwluJaFgrzRToMAirsdxHHpEwEodeBJrcmfLGQA[/tex].用线性方程组的理论证明， 若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有[tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex]个不同的根，那么[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是零多项式。
- 设[tex=10.643x1.357]LshcTsx1MuaJMJOmO/PnNTRwLOlzfUmOqlRHH4ymOPFkViyMj1hEerK3KdD+mWyA[/tex].用线性方程组的理论证明,若是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有[tex=2.357x1.143]dkoxwOpyXKTw0HsOj3nnBg==[/tex]个不同的根，那么[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是零多项式.