令[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]是实数域上三次多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的判别式，证明：当[tex=2.143x1.0]nd/lG2Ges1SVZgbYoQnRng==[/tex]时， [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有重根；当[tex=2.143x1.071]HyOrguZ3VAnEokMQcbbxew==[/tex]时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有三个互不相同的实根；当[tex=2.714x1.071]6SLJsKLGa7RDzz0q/hKVSQ==[/tex]时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有一个实根，两个非实复根。

设 [tex=6.714x1.5]FlGoItqePpYQFyUM/Pyev2hQa3P7ZQGoB+NWKZ2aoPg=[/tex] 是实三次多项式，令 [tex=6.714x1.429]lgereTydM//WzQAtVixZyKFfvx+toNAKeIvrlGTqmDI=[/tex] 证明1) [tex=2.714x1.071]6SLJsKLGa7RDzz0q/hKVSQ==[/tex] 时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有一个实根，两个共轭的虚根.2) [tex=2.143x1.0]nd/lG2Ges1SVZgbYoQnRng==[/tex] 时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有三个实根，其中两个根相等.3) [tex=2.143x1.071]HyOrguZ3VAnEokMQcbbxew==[/tex] 时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有三个不同的实根.