设[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]为满秩矩阵，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵。证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵，则[tex=3.286x1.214]tfkJC0go85s+r+gIn+qVcQ==[/tex]是正定矩阵。
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为实对称矩阵，且[tex=8.929x1.357]LXtcz8hY+gk4rolY95FMai1hDTO3zmOeh4/3sSzhNkE=[/tex]问 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是否为正定矩阵。
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵，则 [tex=1.714x1.214]Xoch5gYRbC0re02c7tg83g==[/tex] 和 [tex=1.143x1.071]gpoIs9WVhBUY5ePG93fElA==[/tex] 也是正定矩阵。其中 [tex=1.143x1.071]gpoIs9WVhBUY5ePG93fElA==[/tex]为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵。
- 求证: 正定实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正交矩阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为单位矩阵.
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为半正定矩阵, 证明: [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]也是半正定矩阵.
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个实对称矩阵。如果以[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为矩阵的实二次型是正定的，那么就说[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是正定的。证明,对于任意实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，总存在足够大的实数 [tex=0.429x0.929]W8E1xLajW/T0ENtge5BUyQ==[/tex]，使得[tex=2.357x1.143]/XtlMqagTGHWKNBzDWFdig==[/tex]是正定的。