验证下列映射是线性同构: 一维实行向量空间 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex], 实线性空间 [tex=1.357x1.143]almAvL8VfPbYWOpICd8c9Q==[/tex], 映射 [tex=4.643x1.357]8389j+ysISxEQN4Kkj/9v4UTvEVZwTwk9mq2az6bunQ=[/tex] 定 义为 [tex=3.714x1.357]EYYn76p/NlVNnWCj8nwxz3SXLVoW1It8L0JMR1lx984=[/tex]
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]Vr8/bn7vNywUFAscsLtCYA==[/tex]为实数域在它自身上的线性空间，[tex=1.357x1.143]rnfL4EF0H6qWg9WB1v+3lQ==[/tex]为全体正实数[tex=1.357x1.143]rnfL4EF0H6qWg9WB1v+3lQ==[/tex]，加法和标量乘法定义为：[tex=4.357x1.286]aFIge72vaMasl4M1lEpRV1XTbSy64QtYH1JxfIK6brQ=[/tex]，[tex=4.214x1.286]bE3hLFZmzVwTwPMZz6RM820Pvf3EpopnJ9x562ctU1c=[/tex]的向量空间。作出同构映射以证明：[tex=0.786x1.0]Vr8/bn7vNywUFAscsLtCYA==[/tex]与[tex=1.357x1.143]rnfL4EF0H6qWg9WB1v+3lQ==[/tex]同构。
- 设 [tex=1.357x1.143]9sD7UtBoWJ71DD0ui7wUoQ==[/tex] 是所有的正实数组成的集合. 对任意 [tex=3.429x1.357]C+z7hB2pZnt7WWZVCQc9c/fiD6D+9TDNs1XdGCaM3kk=[/tex] 定义 [tex=3.929x1.357]/VCapJUB2f5rrtZ+wuRMoHHRNLZ6LO3oSUiBGp+ryQg=[/tex] 实数 [tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex] 按通常乘法的乘积), 对任意 [tex=2.571x1.214]EEn8DO/5U4WAT3T3yPXLOA==[/tex] 和 [tex=2.071x1.071]SQ38n6R/neyCyCbH85pk3A==[/tex] 定义 [tex=3.643x1.214]9ATm2OpV1VB6foc6h0zUr1k67cRg3R5WBz2ISMwLkQM=[/tex] 求证: 实数集合 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 按通常方式定义加法和乘法看成 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的线性空间，求证: 通常的这个线性空间 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 与拱上述方式定义的线性空间 [tex=1.357x1.143]9sD7UtBoWJ71DD0ui7wUoQ==[/tex] 同构. 并给出这两个空间之间的全部同构映射.
- 证明 : 域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的线性空间 [tex=3.714x1.357]UiDQw2E73be8hdEiXF85HanyFc3YW5Szo1gZVOYq19w=[/tex] 与 [tex=1.571x1.0]5b/5Z+UXHTCnPfoQMi2Vug==[/tex] 同构, 并且写出一个同构映射.
- 设[tex=5.214x1.214]l2vYijvwphpA0Bdo8olvNhKvOVd4RCELKut0jj6S5qs=[/tex]是连续映射，Y是Hausdorff空间，证明：（1）集合[tex=9.357x1.357]QCqopxinhs+TvVYgLw48vVpO4x/Rie4gzAlmw62rJGM=[/tex]是X的闭子集；（2）如果A是X的稠密子集且[tex=3.714x1.357]fo4X83uQk0aLKgSpBjpSMw8oj58YdJ5bCiu5d4gfWQqZvgjwV7CYEcyqXJHmRmoq[/tex]，则f=g。
- 判断下面所定义的变换或映射 [tex=1.143x1.214]xoJBjef3jxpHL3gbT3Dzbg==[/tex]是否为线性的. 将复数域 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]和实数域都看作实数域 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的线性空间，映射[tex=7.643x1.357]eeZmrRUHCcSDWIh+qJ5fYNUaojihEdT+cKgydKCIue8s52mFQsPIu21hme1bQovJ[/tex].