判断下面所定义的变换或映射 [tex=1.143x1.214]xoJBjef3jxpHL3gbT3Dzbg==[/tex]是否为线性的. 将复数域 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]和实数域都看作实数域 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的线性空间，映射[tex=7.643x1.357]eeZmrRUHCcSDWIh+qJ5fYNUaojihEdT+cKgydKCIue8s52mFQsPIu21hme1bQovJ[/tex].
举一反三
- 证明，复数域[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]作为实数域[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上向量空间，与[tex=1.0x1.214]++ZnQ9Yy0yDRqmUwKWQxMg==[/tex]同构。
- 将复数集合 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 看成实数域上的线性空间 [tex=1.286x1.214]8dII0A9D3gzaY/LXF2/Zsw==[/tex]. 求 [tex=1.286x1.214]8dII0A9D3gzaY/LXF2/Zsw==[/tex] 与实数域上 2 维数组空间[tex=9.429x1.5]YKviTvOMSMwnFB3OVBeWUfXoKhptoYzInXQ4w5xyx1/0ZxxPM76nVEXifzCgXk6d[/tex] 之间的同构映射 [tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex], 将 [tex=3.714x1.214]4ZNkZJLPfBz3JkWd5MxR0Q==[/tex] 分别映到 [tex=5.214x1.357]1eOLNsydIsGKoFFk6qJF0A==[/tex]
- 令 [tex=12.143x2.786]pSCOUldRRliBGKoKusoPeyxHVDDBCRvg2aLZ3lSfrRhdCkZgBgO3yIc6UVxx5cGgV4+C+kzcZOykQY2nRMMHv3wE2kHEj7z7C3axbIglwQOx1DMdPp/CG0Zh0xphA/bK1+mlRFIZa9Eo4nMouD3fMg==[/tex]证明复数域 [tex=0.857x1.0]dcHR/AMhWBg4tOPVkI9qFw==[/tex] 作为实数域 [tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex] 上的线性空间与 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 同构, 并且写出一个同构映射.
- 证明下列线性空间是实数域上的无限维线性空间:实数域 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的连续函数全体构成的线性空间 [tex=2.286x1.357]w0V/CiXuX1+xa+kdyxqW3Q==[/tex]( 见例 3.22(5))
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是复数域上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间. 将它看成实数域 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的线性空间 [tex=1.143x1.214]FXxOSvFzBpxf1HYaDQ5h9g==[/tex], 对任意[tex=3.5x1.214]IWP1r39J4XibcV+mTiB0evYjPX/VKZHoyJR3C/gQQTs=[/tex] 按复线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中的加法定义 [tex=2.0x1.214]aienUnFkiSd5Ehc6C0WlZQ==[/tex], 对 [tex=2.429x1.214]fHpho+I6DLgkLM4s1EKhdOquo3YOq2vLHbRIQOTsspU=[/tex] 及实数 [tex=2.071x1.071]SQ38n6R/neyCyCbH85pk3A==[/tex] 按 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中向量与 [tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]( 看作复数 ) 的乘法定义 [tex=1.571x1.0]uaBLeNRkgU4ez3iBnRCJTLpVtrw/nCFX105tfT9lsr0=[/tex] 求实线性空间 [tex=1.143x1.214]FXxOSvFzBpxf1HYaDQ5h9g==[/tex] 的维数，并由复线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基求出 [tex=1.143x1.214]FXxOSvFzBpxf1HYaDQ5h9g==[/tex] 的一组基.