若[tex=1.643x1.286]G+YhXSa7jurfipYEGhOheA==[/tex]是连续函数且为奇函数，证明[tex=4.214x2.286]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0gsJ0wPKCSLHiIsl69Vu800=[/tex]是偶函数；若[tex=1.643x1.286]G+YhXSa7jurfipYEGhOheA==[/tex]是连续函数且为偶函数，证明[tex=4.214x2.286]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0gsJ0wPKCSLHiIsl69Vu800=[/tex]是奇函数。

2022-10-28

若[tex=1.643x1.286]G+YhXSa7jurfipYEGhOheA==[/tex]是连续函数且为奇函数，证明[tex=4.214x2.286]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0gsJ0wPKCSLHiIsl69Vu800=[/tex]是偶函数；若[tex=1.643x1.286]G+YhXSa7jurfipYEGhOheA==[/tex]是连续函数且为偶函数，证明[tex=4.214x2.286]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0gsJ0wPKCSLHiIsl69Vu800=[/tex]是奇函数。

答案：

证明  设[tex=7.786x2.286]wj19iVziwhcddHoSbOeZ5yU3UQBWV+0ODQVDYHDSWc9Y/HqmG9WUKvnsZfmMY8Ly[/tex]若[tex=1.643x1.286]G+YhXSa7jurfipYEGhOheA==[/tex]是连续函数且为奇函数，则[tex=6.143x1.286]vta5M3soWkUJosY1IJra6Fcx5uj6KLsihXqc60esrb0=[/tex]，从而[p=align:center][tex=20.5x4.929]AH6JCdZ9nWtYYw/hoxdYfOFrdtlJOX2F5X4R1Py0UiIfEOJwUK6erbLuFYSEXi+P6hFs2LJwM+Wyvag+zvdAtW7NaTEeZwkrAPF2QhogBzUtGTRK8cJTr9MZ7K4l+1XFXKn1woOWBo5qqnJhQ/XDgww+DgYw0UXa87/X+K0CHXuF2PnT0d/PboAelHSTr4sISdP+44Ln92eKtAhhHmR1TDozsuTLf0wQoTVlqnppukKKRZcS1uF5CRYpDgFMv4RM[/tex]即[tex=7.571x2.286]wj19iVziwhcddHoSbOeZ5935IW3lqd4XN3WUzZ0jkA8=[/tex]是偶函数。若[tex=1.643x1.286]G+YhXSa7jurfipYEGhOheA==[/tex]是连续函数且为偶函数，则[tex=5.429x1.286]mYZddIL5ft2T/FOTEkXwWA==[/tex]，从而正[p=align:center][tex=20.5x4.929]AH6JCdZ9nWtYYw/hoxdYfOFrdtlJOX2F5X4R1Py0UiIfEOJwUK6erbLuFYSEXi+P6hFs2LJwM+Wyvag+zvdAtW7NaTEeZwkrAPF2QhogBzXmEpqHd6BotPZBSV4D/3M2QjKbersi2vrJ5WnaL1ts1pUpOZJPUk1D8/HmP6cb6mvjhVDNJew+fpvfn3m0oLHvjQEu+igkNumWf2CZdM4T1HuMMFysuRWErdtG06dg0CCXzz+WHFW3hxmjvnDN5JhP[/tex]即[tex=7.571x2.286]wj19iVziwhcddHoSbOeZ5935IW3lqd4XN3WUzZ0jkA8=[/tex]是奇函数。

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在其定义域上可导，若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是偶函数，证明[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]是奇函数；若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是奇函数，证明[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]是偶函数（即求导改变奇偶性）。
1
若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是连续的奇函数, 证明[tex=4.429x2.643]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0pq1w71LRjnEDGes2wEhs9yXo1gekZsfmwJ6VMnBLJGe[/tex]是偶函数；若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是连续的偶函数，证明[tex=4.429x2.643]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0pq1w71LRjnEDGes2wEhs9yXo1gekZsfmwJ6VMnBLJGe[/tex]是奇函数。
2
证明:若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 0 的邻域是偶函数(奇函数)，且[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 0 存在各阶导数，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的马克劳林公式只含有[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的偶数次幂（奇数次幂）的项。
3
设函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 有相同的定义域，证明:1)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是偶函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是偶函数;2)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是奇函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是偶函数;3)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] ，一个是偶函数另一个是奇函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是奇函数。
4
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 连续, [tex=7.286x2.643]ohMuAAUO8tbfC4KGY2AtFrExZMK4JIwCs97TjEC2HbI=[/tex] , 试证:若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是奇函数,则 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 是偶函数