证明下述涉及斐波那契数和二项式系数的恒等式：[tex=18.286x1.357]V04siWg6kYaOecSZPRLYC5kCE87StJgSsE+r9Xi86GmZO98lZXL8c+AmRf8D4k6V[/tex]其中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数且[tex=3.857x1.357]d/X95bka3ga1NM8AkxP20HqtVQh9bahhonoMOoG7ykw=[/tex]。
举一反三
- [tex=0.929x1.214]C7v3RHy1OJN3vvpMx5JYEA==[/tex]是第[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个斐波那契数。确定用欧几里得算法求出斐波那契数[tex=0.929x1.214]C7v3RHy1OJN3vvpMx5JYEA==[/tex]和[tex=1.857x1.214]VnRANxY5hYRpsLoh2cnL4Q==[/tex]的最大公因子所用的除法次数，其中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是非负整数。
- 证明:如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是正整数，那么[tex=13.357x2.786]075gCzZzsMRb6HYXYk9X9xUXtJXa+9oaN1xhFPeyR1yTwwmZN7NnYrsr5dO8KgRE6xqYmPSSe3YCTipA1nst+r2mVlLgKAQEF3bznsHyf5Bt9SMpdsGAe6WlYwmexhDdFM+TQvuwqBXUmEaB3qN5Lg==[/tex]使用这个恒等式构造一个二项式系数的归纳定义。
- 证明不超过100的连续正整数同时是幂次数的只有8和9(一个整数是幂次数(perfect power)如果它等于[tex=1.071x1.0]6Qd1b+fCXMvDAUbW5Q0f9w==[/tex]，其中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数，[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]是大于1的整数)。
- 证明如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是整数且[tex=1.0x1.214]S08+KKG98HbrAJCN7f6pjg==[/tex]是奇数，则[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是奇数。
- 令[tex=5.929x2.786]YHIKtHtTy6YeetIBukGWJ29FyEYWVBSkIYhOTWWwEFNeu6iwkaZUSw0MxAVdDIZja+GqhBOYN7rzj76h8n0OTAQxZ8CYMcIQ6P/H2SSArFo=[/tex]找出计算[tex=1.357x1.071]317mMb/UfJBjZHDU7raSnoMld3At9ac3IkG0+iYzd/8=[/tex]的公式，其中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]为正整数。