设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在数集[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有定义，试证：函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有界的充分必要条件是它在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上既有上界又有下界。

2022-11-02

设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在数集[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有定义，试证：函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有界的充分必要条件是它在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上既有上界又有下界。

答案：

证明 先证必要性。设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有界，则存在正数[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]，使[tex=4.786x1.286]xurbTVGd1l5ubpdtuL16x978J1GWiiJ1e5XgMlh1AxI=[/tex]，即[tex=7.5x1.286]UDYL8FOz7IJiZR026Tq90+49jh8FcsKKH4vnb/cfAeo=[/tex] 这就证明了[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有下界[tex=1.857x1.286]UCd5BOVFkBOSGPvtxLikzw==[/tex]和上界[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex].再证充分性。设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有下界[tex=1.214x1.286]nnTrz96TFV/KkFfRvz336g==[/tex]和上界[tex=1.286x1.286]aoxg6SnoSkhIEK1fiEMYMw==[/tex]，即[tex=7.286x1.286]q6bXPHSYhH7vJKasli2I7wtysMngx/MjAtfvsMi8CxZkguI6YZWXhN3qVD5Z2vjz[/tex] 取[tex=9.429x1.286]B5d40a4g+TrL4D6N+Cf2OuBaAJiDkeRdMa+HQTAmsFDMCoEYkX+NaQg4fZqs6/AEgpudO2RpZ16/KE7uFZ5e89w9wjevLWI0BJ483jAbk9I=[/tex]，则[tex=13.429x1.286]dubja2MmuLXKEiF6z6KOkj1L3wTe7CnnYFFGNsdRwMzykx9pS1VZ1VTDeIHgiGCgJQDMxVE6di0PCZKfpOTISg==[/tex]，即[tex=5.0x1.286]xpRYuBvg1bcwS/fIwOoCt19Z3CXNpPIa2fC8tZIZgtY=[/tex] 这就证明了[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有界。

举一反三

内容

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设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个相互独立的随机变量，[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]在[tex=2.929x1.286]kvrkODQf0L3CKREOEdSkuA==[/tex]上服从均匀分布，[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的概率密度为[tex=10.571x2.429]DRJq+C1mHjswrEZ8FtvX7HNGAPrBLJ6gzRGG2ilTN7MM55jZEydQmT0AUl0Qb5hAT5k9ols3J/KpgflWFdX4TQ==[/tex]，求：（1）[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的联合概率密度；（2）[tex=4.714x1.286]dbgFLPFxgdKKXnbc/gnthjs3iie6rgn/UEwrXH27vHI=[/tex] .
1
设随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的概率密度为[tex=9.214x2.429]93cVZGWw3lMgVkyi6VSoKh50pCatLfwEhBI5Mcu8cetbI0pCEX/JZxnvKhEuybgm+iLMgPuF5EM2U4IiW21lBg==[/tex]设[tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的分布函数，求随机变量[tex=4.429x1.286]lp9MWWLA00sQp0WbJ9dswA==[/tex]的密度函数。
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某厂销售收入[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]与利润[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的统计资料如表所示。[img=631x178]1790c8ce45dac14.png[/img]若[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]与[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]有线性关系，试求出[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]关于[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的线性回归方程。
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设随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的方差存在，证明：[tex=10.143x1.286]HG2ihwjcXTdzCTS/bC0QJsaC65j3BHkkW1/8B8OIxFg=[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]不相关的充分和必要条件．
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设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个满足第一可数公理的空间，证明：[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是Hausdorff空间当且仅当[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]中每一个收敛序列都只有一个极限点。[br][/br]