设 [tex=0.714x1.214]o1HMeHvTnCSY+cMqAEISgQ==[/tex] 是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的同态满射，[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想，[tex=0.786x1.143]EiNNRHzKTxg7zGjdHFOxvQ==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想，那么(1) [tex=1.714x1.357]2+VR21kpEOyUGEehE2UvdA==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想;(2) [tex=3.286x1.5]/Rybg/8CUfBGAEQhpY7PXIK2RmbrEgHGC3vZadxbYqI=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想。

2022-06-04

设 [tex=0.714x1.214]o1HMeHvTnCSY+cMqAEISgQ==[/tex] 是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的同态满射，[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想，[tex=0.786x1.143]EiNNRHzKTxg7zGjdHFOxvQ==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想，那么(1) [tex=1.714x1.357]2+VR21kpEOyUGEehE2UvdA==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想;(2) [tex=3.286x1.5]/Rybg/8CUfBGAEQhpY7PXIK2RmbrEgHGC3vZadxbYqI=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想。

答案：

证明: 由定理知: [tex=1.714x1.357]2+VR21kpEOyUGEehE2UvdA==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的子环; [tex=3.286x1.5]/Rybg/8CUfBGAEQhpY7PXIK2RmbrEgHGC3vZadxbYqI=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环。因此只需证明理想的第二条。(1) [tex=3.786x1.429]scyHNpPkt5xRg9cQQZOaLiUyOdK3NT6dbYwVPddV8eE=[/tex],[tex=2.429x1.214]j+dNYnauwncGwFObEuhxIw1a4gxA7ecgNJPhmAa6Jh8=[/tex], 由于 [tex=0.714x1.214]o1HMeHvTnCSY+cMqAEISgQ==[/tex] 是满射，则存在 [tex=4.286x1.214]NiMtr1hb0sxsV0ZZF/NLfsIT3y9ldXhy0ue/agFWypA=[/tex] 使得 [tex=3.429x1.429]2zldBsTGQKdyPS/Tpibx+3Nx+fBIH6bKPVH92vtT1KE=[/tex], [tex=3.214x1.429]B5JYzzexsKF43sNdJeaAWtfspqrHtaoBnBOD+0hHVK0=[/tex], 由 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想可得[tex=11.286x1.429]bzqmhMdwCvQHpQ6HzosvrngI+tRt2xa7RHwTuZqG7dbSIrTC6kIpsc2jKxsEArDt[/tex], [br][/br][tex=11.286x1.429]OvcAKike6b1EFHnnYTC6u0YozSpaI28GoDfMmyWp455y+mRi8CenxtbJcSYQuQsJ[/tex],证得 [tex=1.714x1.357]2+VR21kpEOyUGEehE2UvdA==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想;(2) [tex=5.071x1.5]mWhzOjphaHyj2qFHSpsubtxyc13CPjGL8pRNPCGqpiwyaqkEV72xZ49wUpU/r4/u[/tex], [tex=1.929x1.071]4Ey8go3qXVu8NpBezsu/DQ==[/tex], 则有 [tex=3.286x1.429]upkXMzLLxoXbNqNJsbHkZznHStfZ9O4NKuatl/2bhqs=[/tex], 由于 [tex=0.786x1.143]pA9GGhWBSOlzUzqa2NeFsg==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想，所以，[tex=8.071x1.429]ooT4+m0wiOTyGYLTQdYZAM/s1+QS5p/+tuBfleVkCEo=[/tex],[tex=8.071x1.429]o4psUzAxacIovJI/GID3Mb2E75XodvOLDDpyboZqfqc=[/tex],从而有 [tex=1.071x0.786]3wKKOMmi0tGA9kA8PFOw3Q==[/tex],  [tex=4.5x1.5]jiXfhyIMlcMKHwTogWrqHX0uiXrpIJ6stSx2m9APFndDeAGqpQdi5CCZmcjM+ri0[/tex], 得 [tex=3.286x1.5]/Rybg/8CUfBGAEQhpY7PXIK2RmbrEgHGC3vZadxbYqI=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]和[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]是集合[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]上的等价关系，用例子证明[tex=2.929x1.143]C2mN1zCbfhCsNDe5KuTbjwY53jutWC5+HizuaTYOcfo=[/tex]不一定是等价关系。
1
设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的子环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 且[tex=2.714x1.143]qeVx/WneqT6AKFTmS1fp3aWUSBO9UpECh2/YR23omjA=[/tex] 证明:(1) [tex=1.571x1.357]Fm8Px+trZ6+uWLyh/NKRGQ==[/tex] 是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的子环;(2) 如果 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 则 [tex=1.571x1.357]Fm8Px+trZ6+uWLyh/NKRGQ==[/tex] 是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的理想. [p=align:center][br][/br]
2
设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的可测函数，证明: 对于任意常数[tex=0.643x0.786]KFl4ILVOU0DB1zdU6Y+zcg==[/tex]，[tex=2.714x1.357]Iahqc5ZURhYgFELsbV6zgQ==[/tex] 仍是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的可测函数.
3
试明定理[tex=1.571x1.0]NRAZSenLCh2cmqvlDAuLxg==[/tex]注定理[tex=1.286x1.0]kKCBHQIleWbqLYAAphuK9A==[/tex]如下:设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.(1)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 则[tex=8.857x1.571]q5W7VvnThRiSAS3Jbiihlk4nznYZovknm27R+wDzbUgy/KB6cLlcqo+RB7WV6+Pt[/tex](2)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想,且 [tex=2.357x1.143]hmtyi/PG7j28PFV8+4H81GFH4NHJ9jPZRtfqR3pyO4Q=[/tex], 则 [tex=8.929x1.357]KPfO9KqaoHTPeQJw4n6XBnR8/jev71ZZLhkMVIqcifOI40+aHe2jmxFdBV/vadrB[/tex]
4
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的真理想. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每个不在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 中的元素都可逆, 则 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的唯一的极大理想.