证明：两个向量组等价的充分必要条件是：它们的秩相等，并且其中一个向量组可以由另外一个向量组线性表出.
证明:必要性由本节推论 8 和向量组等价的定义立即得出.充分性.设向量组( I ) 与向量组( II )的秩相等，且向量组( I ) 可以由向量组( II )线性表出.设[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSUz6ZIb1aEtePJB7RUACtrA9MSp/bUckI3G7fl4ajOkEu[/tex]与[tex=4.286x1.214]PTFJ2GlWAMp+5sBW2w9OiWDTQ8JdY/F9jPaKbImsXQM=[/tex]分别是向量组( I ) 与向量组( II）的一个极大线性无关组.则[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSUz6ZIb1aEtePJB7RUACtrA9MSp/bUckI3G7fl4ajOkEu[/tex]可以由向量组( I ) 线性表出,向量组( II ) 可以由[tex=4.214x1.214]PTFJ2GlWAMp+5sBW2w9OiXWpBrQ+yjImz6lxY39OKqs=[/tex]线性表出.又已知 ( I )可以由( II )线性表出，因此[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSUz6ZIb1aEtePJB7RUACtrA9MSp/bUckI3G7fl4ajOkEu[/tex]可以由[tex=4.214x1.214]PTFJ2GlWAMp+5sBW2w9OiXWpBrQ+yjImz6lxY39OKqs=[/tex]线性表出.任取 [tex=6.286x1.357]LnKexefI+EkNL6Djm3hLQ2bFDQUnvqx1Ba2Lqxsk6Cc=[/tex]，则[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSU5JJhbfuP8THVSROvEIpkZU=[/tex]，[tex=0.857x1.286]ikxg9+ipSv03ynDVraPqHA==[/tex]可以由[tex=4.286x1.214]PTFJ2GlWAMp+5sBW2w9OiWDTQ8JdY/F9jPaKbImsXQM=[/tex]线性表出.于是根据本节引理1得，[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSU5JJhbfuP8THVSROvEIpkZU=[/tex]，[tex=0.857x1.286]ikxg9+ipSv03ynDVraPqHA==[/tex]线性相关.又由于[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSUz6ZIb1aEtePJB7RUACtrA9MSp/bUckI3G7fl4ajOkEu[/tex]线性无关，因此[tex=0.857x1.286]2vV9/H0OKYsecuK6l8Y0Sw==[/tex]可以由[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSUz6ZIb1aEtePJB7RUACtrA9MSp/bUckI3G7fl4ajOkEu[/tex]线性表出.从而[tex=4.286x1.214]PTFJ2GlWAMp+5sBW2w9OiWDTQ8JdY/F9jPaKbImsXQM=[/tex]可以由[tex=4.429x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSUz6ZIb1aEtePJB7RUACtrA9MSp/bUckI3G7fl4ajOkEu[/tex]线性表出.于是向量组( II ) 可以由向量组( I )线性表出，所以向量组( I ) 与向量组( II )等价.
举一反三
- 向量组(I)与向量组(II)可以互相线性表出是向量组(I)与向量组（II）等价的___________条件; 向量组(I)与向量组(II)的秩相等是向量组(I)与向量组（II）等价的___________条件。（填充要；必要；充分）
- 证明:如果秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的向量组可以由它的[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个向量线性表出，则这[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个向量构成这向量组的一个极大线性无关组.
- 向量组Ⅰ：c1，c2，…，cr可以由向量组Ⅱ：b1，b2，…，bt线性表出，向量组Ⅱ可以由向量组Ⅲ：α1，α2，…，αs线性表出，则向量组Ⅰ可以由向量组Ⅲ线性表出．向量组Ⅰ可以由向量组Ⅲ线性表出，向量组Ⅱ可以由向量组Ⅲ线性表出，则向量组Ⅰ可以由向量组Ⅱ线性表出？
- 已知两向量组有相同的秩,且其中之一组可被另一组线性表出. 证明:这两个向量组等价.
- 已知两个向量组有相同的秩，且其中一个可以被另一个线性表示。证明：这两个向量组等价。
内容
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两个向量组秩相等则两向量组等价
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【单选题】设 维列向量组 线性无关,则 维列向量组 线性无关的充分必要条件为 _________. A. 向量组 可以由向量组 线性表示 B. 向量组 可以由向量组 线性表示 C. 向量组 与向量组 等价 D. 矩阵 与矩阵 等价
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【单选题】一个含有s个向量的向量组A可以由含有t个向量的向量组B线性表示, 且s>t,则() A. 向量组A一定线性相关 B. 向量组A一定线性无关 C. 向量组B一定线性相关 D. 向量组B一定线性无关
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下列关于极大无关组说法不正确的是( ) A: 一个向量组的秩等于其极大线性无关组里向量的个数 B: 一个向量组的极大无关组只有一个 C: 一个向量组与其极大线性无关组等价 D: 一个向量组的秩与其极大线性无关组的秩相等
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关于极大无关组，下面正确的说法是 A: 秩相同的向量组一定是等价向量组 B: 一个向量组的极大无关组是唯一的 C: 向量组与其极大无关组是等价的 D: 如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关