对于正整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，[tex=9.643x1.357]mBBXv5zyS5sh3MnAyUzmuAmRw0XYF31YT608mSmO5io=[/tex]，设[tex=0.929x1.0]ceGzagiqogZJLawcbXkJxg==[/tex]是[tex=1.214x1.214]r/gbdchWkpUpH+6vSvIihw==[/tex]上的一个二元运算，使得[tex=2.643x1.214]8jcdeXKawq9ztoxSZ/dG4w==[/tex]用[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]除[tex=1.714x1.0]GBiT9n2MnR8I3BQcj7rwKA==[/tex]所得的余数，这里[tex=3.286x1.214]2CSRx9ufY7pVgWtB5KkD1g==[/tex]，b) 对于任意正整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，证明:[tex=3.286x1.357]0pxsSkWpPbm0FfN8FHlXytcT1+bFzrDBhyzjF9vKDB8LzXKpSi1DEUFIo63ceuTh[/tex]是一个半群。

2022-06-06

对于正整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，[tex=9.643x1.357]mBBXv5zyS5sh3MnAyUzmuAmRw0XYF31YT608mSmO5io=[/tex]，设[tex=0.929x1.0]ceGzagiqogZJLawcbXkJxg==[/tex]是[tex=1.214x1.214]r/gbdchWkpUpH+6vSvIihw==[/tex]上的一个二元运算，使得[tex=2.643x1.214]8jcdeXKawq9ztoxSZ/dG4w==[/tex]用[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]除[tex=1.714x1.0]GBiT9n2MnR8I3BQcj7rwKA==[/tex]所得的余数，这里[tex=3.286x1.214]2CSRx9ufY7pVgWtB5KkD1g==[/tex]，b) 对于任意正整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，证明:[tex=3.286x1.357]0pxsSkWpPbm0FfN8FHlXytcT1+bFzrDBhyzjF9vKDB8LzXKpSi1DEUFIo63ceuTh[/tex]是一个半群。

答案：

b) 对于任意的[tex=10.714x1.214]0eVoqlM0fPgHCynDfHksUlOuGzdk2Ehm07JI+P9635WF7+csGw1StGrPrNseXLy1[/tex]其中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]为[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]除[tex=1.714x1.0]GBiT9n2MnR8I3BQcj7rwKA==[/tex]的商，[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]为余数，[tex=5.429x1.143]RX253/HJSxWAbbZMwCd2Pj/Ty40ZDIO4O3fv6tqCzxk=[/tex]，所以[tex=0.929x1.0]1MES/WgLAgeo6jdMJWii+Q==[/tex]在[tex=1.214x1.214]r/gbdchWkpUpH+6vSvIihw==[/tex]上封闭的。对于任意的[tex=4.143x1.214]TDQSZS/J1/MAbU/q/tdogDhQrtEpt4llA8sXevXpESM=[/tex]，有[tex=10.786x1.357]jiUjMmEqOBNqBbj4Sr9bsiis3N53sx46MNXpC78mAvKgOjL2uvlmf4W3LBITKJBYf8kDhzlmw5hV4W7MLPGojjT2RaBszNeH4d+pzqBtX7c=[/tex][tex=8.571x1.357]87MxyT2LBfCqKZkOG3jfyEpXCedNx2jG5xvFECV0v0GzVhe33rfvh2tdP4xC5mC/[/tex][tex=9.857x1.357]5MkzHAk0H+JJ/gUeteGOicCIUwFK3LYpXWnieWScLyc/FxiCXAgLdVLA/pSz5Wi+sFQaQZlQr6RxZ0vpLp3sfw==[/tex]，[tex=10.786x1.357]p0OFbq9Z2c4Tub/uYuh+OZq6YNlZYxzmAdEVeIVn9eFTg8l3h8EPguRaSppyQTgQTNx1LcyqnXbqhz1B2FOdauSP+gYKlfr8+fHYaR2lg1k=[/tex][tex=8.357x1.357]lL3X5ohvzpNvaPkXhcg8tBA7n7zcTjgPiXpFO2bNsitxS0REBYRCHwmM82/g/2O+[/tex][tex=9.929x1.357]5MkzHAk0H+JJ/gUeteGOiWVqlI+DiMn27A2uQkxkAA1xED6CDSGXzOvfVYd8zMyO9VqC9gTy6jhlDohUNN0/dg==[/tex]因为[tex=2.071x1.0]YlQuaT+Zt3Y/beATcDDCtw==[/tex]都为[tex=2.0x1.0]igsVQm/uwgJxVz6m3acMIK8F15u127JdHQx3uW10wbI=[/tex]除以[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]所得的余数，所以[tex=2.429x1.0]fG2DuV1HzjZydq5YdLIrHw==[/tex]，即[tex=8.929x1.357]jiUjMmEqOBNqBbj4Sr9bsgJsyLlf57iO8EIYIAk35Cyc1NerD+y+gNU8xZLAd+Y1/ZBCVMwStWIdZIcqfeG7Vw==[/tex]， 即[tex=0.929x1.0]1MES/WgLAgeo6jdMJWii+Q==[/tex]满足结合律。综上可知[tex=3.286x1.357]0pxsSkWpPbm0FfN8FHlXytcT1+bFzrDBhyzjF9vKDB8LzXKpSi1DEUFIo63ceuTh[/tex]是一个半群。

举一反三

内容

0
证明:如果能够证明如下命题，那么就可以证明:对所有的正整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，[tex=2.857x1.357]x53ByXNSe9QoR8aqSxOunQ==[/tex]为真。对所有的正整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，[tex=2.786x1.357]EoVija0Wvc60C/7c5b0GFg==[/tex]为真，且对所有的正整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，[tex=7.929x1.357]0dcb1Sn642lu4eYwYSzkT6BFGKP9IDOc8rzsQP2x7jI=[/tex]为真。[br][/br]
1
证明：次数＞０且首项系数为１的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
2
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是复数域上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级可逆矩阵，证明：如果[tex=3.286x1.214]PBywXZ6ZBA+Qj9HgfqBwjg==[/tex]，其中[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是大于1的正整数，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值都是单位根。
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证明：如果[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]是一个形如[tex=2.786x1.143]YT0kxW8W9RBpLf0nS85IHw==[/tex]的正整数([tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]为非负整数)，则[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]就不是两个整数的平方和。
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设[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]是一个正整数。用数学归纳法证明:如果[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]、[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]都是整数，且[tex=5.643x1.357]BhPtz35zWC0zKgd7updWaQ==[/tex]，则当[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是任意一个非负整数时，就有[tex=7.143x1.5]QnokmlKduLq/SILTVG9W35xSj59PRDa3yme9i4mkSYg=[/tex]。