按照“弗里德曼的持久收入假说”:持久消费Y正比于持久收入X,依此假说建立的计量模型没有截距项，设定的模型应该为: [tex=5.786x1.214]lqTHBz54sRQHTbqYU+FZS5z+PqzN2b4bsks0ZfVMrIg=[/tex] ,这是一个过原点的回归。在古典假定满足时，证明过原点的回归中[tex=0.857x1.214]f+HQGAZjh5fkOKIjeSXwBw==[/tex]的OLS估计量[tex=0.857x1.5]xI0/T25mjFdNKMECXKW4hg==[/tex]的计算公式是什么?对该模型是否仍有[tex=3.643x2.0]IslOm9f1Cq6cesqNg9wMUA==[/tex]和[tex=5.286x2.0]CTlnuaYCJsb6ZwOmQw6m8iQj+rkgg5djiPsxdj/iHBA=[/tex]?对比有截距项模型和无截距项模型参数的OLS估计有什么不同?

2022-06-05

按照“弗里德曼的持久收入假说”:持久消费Y正比于持久收入X,依此假说建立的计量模型没有截距项，设定的模型应该为: [tex=5.786x1.214]lqTHBz54sRQHTbqYU+FZS5z+PqzN2b4bsks0ZfVMrIg=[/tex] ,这是一个过原点的回归。在古典假定满足时，证明过原点的回归中[tex=0.857x1.214]f+HQGAZjh5fkOKIjeSXwBw==[/tex]的OLS估计量[tex=0.857x1.5]xI0/T25mjFdNKMECXKW4hg==[/tex]的计算公式是什么?对该模型是否仍有[tex=3.643x2.0]IslOm9f1Cq6cesqNg9wMUA==[/tex]和[tex=5.286x2.0]CTlnuaYCJsb6ZwOmQw6m8iQj+rkgg5djiPsxdj/iHBA=[/tex]?对比有截距项模型和无截距项模型参数的OLS估计有什么不同?

答案：

答: 没有截距项的过原点回归模型为: [tex=6.0x1.214]gGd/DupZZ/x3Spu0J6zQm4d9rkhBNwZCzq6oQGvRPaw=[/tex]，因为[tex=10.643x2.357]ybP/SpVTaC+WboPGEiqt0LqIDIA5qUIOlsXXaj1B975Na1VT9LishJowHLzsbqelbjWau8z0Cqb817wgdmdY2Q==[/tex],求偏导:[tex=20.429x3.0]PZiPS6l836857VElt4Rv0H91U1WhLIVYDS/Md8N1phgARdB/X5O08PvUFi8cE6GpZRbcYHJIC+Kg2cKgjP6Ole20ZxsdY6/68NlBxzM68Mpb55remKIIxFglpAOm7A3OEGGT2FPnKVAR+cvx9bpRtVKv6RIkWKIvkHKnP3jKG/yyzxHk0zGit7P+mC23R1sS[/tex]令[tex=16.143x3.0]PZiPS6l836857VElt4Rv0H91U1WhLIVYDS/Md8N1phgARdB/X5O08PvUFi8cE6GpZRbcYHJIC+Kg2cKgjP6Ole20ZxsdY6/68NlBxzM68Mpb55remKIIxFglpAOm7A3OEGGT2FPnKVAR+cvx9bpRteak5cXiEAYWnn8122ajy90=[/tex]得 [tex=5.714x2.714]zDcg1q0eCC4FmSDjLZUMFoEzjckAkoal46sOewHbcRt3VjsXIAv/rcesBsGRZ+xSb5JzY8JEdlVgUDCbi3Dlcw==[/tex]，而有截距项的回归为:[tex=5.357x2.714]ey4Et7o0QmBQU7VGYQ4w4QqI+bcQZ2XpYb+YpByxB49nCv+qEny5MYQQusj9FCzXfAtp6G3Xv3jWYD4QNZp2WA==[/tex]对于过原点的回归，由OLS原则: [tex=3.643x2.0]IslOm9f1Cq6cesqNg9wMUA==[/tex]已不再成立，但是[tex=5.286x2.0]CTlnuaYCJsb6ZwOmQw6m8iQj+rkgg5djiPsxdj/iHBA=[/tex]是成立的。还可以证明对于过原点的回归 [tex=13.214x2.857]FDtvs3Lh57s7VKF+xqLHYmaW6Zit2OD7N3AzzGCUSc6U0NEYb2OKNMrtNJwU4Rin8qb4R/2s7KVNc8UQanc01DuCvGQCcGMExjEbSXOA7GJcLnsnuvnBoPU9WtiQaJ1QwPzP37OyiCFCSY+cuhHB0TPhDY0z+vZXakxVxj9iQK4=[/tex]。而有截距项的回归为 [tex=12.857x2.857]iMO1fBS6u6quko082x6jetj4tgBDZlLOcK6Zz5PRs/C9W7jbXX7gYO+QCyDfFlMFpugy5cupMLsht0K30rvp4Wc4hh2KvOLq+2XVrzbiHs+/k44R/WpquLC55z6DvHlDcCd5vZfZCEoH8AAoMqCTh06SS63/nejhuwg6dPRuVtBbf1sN6ZzG9vid24ko9ifg[/tex] 。

举一反三

内容

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考虑以下过原点回归:[tex=8.643x1.571]DZjPP86KI1Kn0PFZrpO9V1ZHl95E20MgQ+cJpudI4LlkjMsM9hCcEX2s6ob9pFPdWBMMKU4H9794Tnua8t37kg==[/tex][tex=16.643x2.0]VyAG5JmvlmK5f++qIzlOr4Ke9B2wKBr+Er7Cg5Hy3MVBelnd8djgZr84Ia82cYJIA8ktSEcOKOjvtrrAPS+tReZnfUw3oSU+i/3RIayAVfk=[/tex][br][/br] 对该模型，是否仍有结论
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过原点回归的原始[tex=1.214x1.214]kOo7YUBfHY2eqRiq3FDUeA==[/tex] 。前面曾指出, 对于过原点的回归模型, 常用的 [tex=1.214x1.214]kOo7YUBfHY2eqRiq3FDUeA==[/tex] 可能没有意义。计算这类模型的另一种方法称为 “原始” 的 [tex=1.214x1.214]kOo7YUBfHY2eqRiq3FDUeA==[/tex], 定义如下（双变量情形), 原始的 [tex=7.571x2.929]jLs9Nwn5uMS9BelytHJWPlvkQzk68fO/5Qx69plQ04PsA1QZMZT/Y4/AqfQvXcCXVUyOcaA25J/b3HewfNezbCam8at+br3o0IFye4YVCaA=[/tex]如果与式 (3-43) 计算的传统的[tex=0.929x1.214]KIsvaHASs9PvahxD8YZuEQ==[/tex] 相比较, 则可以看出，原始[tex=0.929x1.214]KIsvaHASs9PvahxD8YZuEQ==[/tex] 的平方和以及交叉乘积项未经过均值校正。计算习题 5.22 的模型 (2) 的原始 [tex=0.929x1.214]KIsvaHASs9PvahxD8YZuEQ==[/tex] 。与习题 5.22的模型 (1) 的 [tex=0.929x1.214]KIsvaHASs9PvahxD8YZuEQ==[/tex] 比较。你得出什么结论?
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设抛物线[tex=7.5x1.429]PuOOiuXliw3SbXOlC3PxEg==[/tex]与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b).函数f在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0，并且曲线y=f(x)与[tex=7.5x1.429]PuOOiuXliw3SbXOlC3PxEg==[/tex]在(a,b)内有一个交点.证明：存在[tex=3.286x1.357]EV4pc+LBkNBOhd4NZUA5NQ==[/tex]，使得[tex=4.357x1.429]/FYTUVhgTPYa3RqQR+bSSXpHSralD3pTYi2H35Z8qsw=[/tex].
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对变量 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]进行 7 次观察得数据如下：[img=506x67]17afca0b7b9b8cc.png[/img]据散点图估计出；x和y可能满足的非线性模型中的模型线性化来估计出其中的参数。
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对变量 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]进行 7 次观察得数据如下：[img=506x67]17afca0b7b9b8cc.png[/img]据散点图估计出；直接用原模型的最小二乘法估计x和y可能满足的非线性模型中的参数。