证明 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环, 则映射[p=align:center][tex=5.143x1.214]4huI4vPuOC5DwSwh9v+pqmZ8zIR4uMpqJJGCJdNZD5284UHYZUBluqcDPeiVBFsU[/tex][p=align:center][tex=3.857x0.786]xjKJOk7jgWMso5Sqhr+k7m3CrOAppVSxOnlWEawUee8=[/tex]是环 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态.
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为环, [tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的两个理想. 令[p=align:center][tex=11.5x1.357]8CM8TB92oV/hI4hxvCjpVOI3C17io1Q4g2yEZDWMOr94qwSdpSa3twYxbMsnM69a51YRJPm5UjHeMkuicETmlg==[/tex]证明: [tex=2.429x1.357]fvTZI9dBC5syJ0twORMkxA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环. 证明: 对 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的任何非零多项式 [tex=4.429x1.357]xDE+DYVVlqrwETxnz6Xubg==[/tex] 有[p=align:center][tex=15.5x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y9aNKwSst378OWInw7DpxyGmQvFvzv47TsWEB5CANuf6zpgFv5dmqUYhh4odqlC50+QDGCeyPT0ix16HCQ6y8st/RB8mbB6Oa20he8QsA61[/tex]如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 不是整环, 这一结论还成立吗?
- 设环[tex=3.5x1.286]9nlEIvQxLeNuWoevFsUZE039BKqeYdh1Ja/Kg/QP+Hk=[/tex]有左单位元 [tex=0.786x0.786]smkeai0+myg9f5pS0Q47qg==[/tex]证明：如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]无右零因子，则 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位元.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=6.714x1.357]Bis8/eY8aphbE2JEKHudIA==[/tex]分别为环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的左、右理想.[br][/br]
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元1的交换环，[tex=2.929x1.357]wNZYyFzs1adFMqSe7mkJQQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶全阵环. [tex=5.714x1.357]b6x3UNsP/4RKtwWNsu9AsdyZ1gShonJONjXXZHDCNbo=[/tex] 证明[p=align:center][tex=9.714x1.286]yH0ulBrKXaGdnyIfiicOUMjyicceCdry3FxYqsokbx/jtaCNvHc1Md8nI7J0Mbfh[/tex]其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶单位矩阵.