举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=5.714x1.357]Z3oibzrlRhHqic0yqSPhvQ==[/tex]与[tex=3.786x1.357]maY8sld12/N7audyO7jvLA==[/tex]都是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环,且后二者还是零乘环.
- 环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中元[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]叫做幂等元, 如果[tex=2.143x1.214]zODDITGVg33rYRBP98VF/g==[/tex]. 如果[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]又属于环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心, 则称[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为中心幂等元. 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是含幺环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心幂等元. 求证: [tex=1.286x1.0]74n6tKMlTkqGjOgbHLaoMQ==[/tex]和[tex=3.286x1.357]Gtj+ow6IJXfT/5Cqvn1yJw==[/tex]均是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想, 并且[tex=8.071x1.571]MmjD0I0GjyEBGOdUmoAh3B6xr+6qlyOK1w97+6f7Z54=[/tex].
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个环, [tex=2.0x1.071]oYU6699DPbu9TiKgTE5IEg==[/tex]. 证明 :[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]对以下二运算[p=align:center][tex=10.786x2.786]c8gX0O6CKBpyqTBZ2fB4Dg4OilMZFIykn6wqx26v/ft2WbzX9YovTjcJWu178wS23+g/vcBeBZVdEiFFwz2fBD3xuQjWLCCeTcojW7TB3v0=[/tex]作成一个环且与原来的环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有单位元的整环. 证明:若 [tex=4.571x1.0]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfX7A5Q7gBBke5x+UKJII8/0=[/tex], 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 有子环与[tex=0.714x1.0]A/RYZa+bKKYYpjzBS/r5ng==[/tex]同构.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, 集合[tex=17.429x1.286]1J1SivOWW5Z2LFlO+jxfjuA8rlk01xIOptZycDH6fm7g7o5b+NKM1GTrN/gR+I5wjUgevTCj5VTmWN/Pgsy1UA==[/tex]叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心.[br][/br]求证[tex=2.286x1.357]jF3SYJxDJgm6KahDCZyxrQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环, 但不一定是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想.
内容
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环,[tex=2.929x1.143]a9qTzPsUmiarqY8I8O9oKw==[/tex]. 证明:在自然同态[tex=4.214x1.357]H63lzD+rmAHOABNT7tZf5A==[/tex]之下, [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]的象为[p=align:center][tex=4.5x1.357]Mj8RuD/+/gqXIUcO6oqg0Q==[/tex].
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证明(1) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任意有限多个理想的和还是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想 (2) 环 [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 的任意 ( 有限或无限) 多个理想的交还是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：左[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的自同态环[tex=3.429x1.214]AMahXgRvckOkvLGOzTTBuAZ2VkgS1nNjQqm8M+IVxGI=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]反同构。
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：右[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模的自同态环[tex=3.286x1.214]TZTRDxIrnrgeWDCFK/AUreW7QrbLbLJHTsQZT5KgKx8=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构。
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有単位元1[tex=2.214x1.286]LdfxmbZO/dkwxLsA+hGMZA==[/tex]的环，证明：[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的可逆元不可能是零因子。