设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元1的交换环，[tex=2.929x1.357]wNZYyFzs1adFMqSe7mkJQQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶全阵环. [tex=5.714x1.357]b6x3UNsP/4RKtwWNsu9AsdyZ1gShonJONjXXZHDCNbo=[/tex] 证明[p=align:center][tex=9.714x1.286]yH0ulBrKXaGdnyIfiicOUMjyicceCdry3FxYqsokbx/jtaCNvHc1Md8nI7J0Mbfh[/tex]其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶单位矩阵.

2022-06-01

设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元1的交换环，[tex=2.929x1.357]wNZYyFzs1adFMqSe7mkJQQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶全阵环. [tex=5.714x1.357]b6x3UNsP/4RKtwWNsu9AsdyZ1gShonJONjXXZHDCNbo=[/tex] 证明[p=align:center][tex=9.714x1.286]yH0ulBrKXaGdnyIfiicOUMjyicceCdry3FxYqsokbx/jtaCNvHc1Md8nI7J0Mbfh[/tex]其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶单位矩阵.

答案：

证： 设[tex=3.071x1.0]7mCElV83XixqyvB5XDEXIQ==[/tex]，则由[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]可换，得[p=align:center][tex=10.429x1.357]PNIJVXV/Nr0Wla5PlNkNbWiJqL9A0hS5Bv8mYLZCll8=[/tex]所以[tex=1.357x1.357]4WxokdqdjbEVydq+MYklYA==[/tex]是可逆的.设[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵，则由[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]有1可换知[p=align:center][tex=8.0x1.357]SnCU99DjAgEIC8RkxKxTiXTuLH2xm0jwOL2+J6fGjK95kA0vlUvQyOP7njD+LM82[/tex][p=align:center]于是[tex=14.571x1.5]T39N5NfJijIdeNg5q8kTp0xa7Y8iyAl0C/8eYwGtJ+kMEhuq+qeE5TfJDFpxRt9nf5KUy0h7wJQUa80QRPHdDg==[/tex]故当[tex=3.071x1.0]7mCElV83XixqyvB5XDEXIQ==[/tex]，则[p=align:center][tex=16.357x1.429]Ma6G/9DmoX9nzdb7gcMCKdZxxDb9WReH270QVK3rvKaLs7xayhjXAe5U3rcCywIu[/tex]

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl/jgx7HDqG8OMKcZZrhVcXy6+JovSSXitpjCbh6SDQEN[/tex](2) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl8wUbDZMgCOnJA1lQifZKR+Dh2C+JkyFhRzqn66dyW91[/tex]
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证明：[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为数量矩阵的充分必要条件为[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]与任何[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵可交换。
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
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设[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]表示[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的附属方阵，证明：[tex=5.786x1.357]cRSSutUe8lxP7o+KrExJjIlQDv25D1qSOdQh99TznTk=[/tex]，其中[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]也是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵。
4
若矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 即 [tex=2.786x1.0]t6ogScZVzQ6nmR7J34fx7Q==[/tex] 但 [tex=4.5x1.429]LeMsK/GHf6ch8ZOCybGouXwgjeQprbWyKA1XUXYVQGI=[/tex] 如果 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是同阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex].