设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.

2022-06-01

设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.

答案：

有 (2)推出 (1). 设[tex=7.143x2.643]1OLrjKCRo6z66A5iu664kdutzyD49oALzlOu9NZC/sQ=[/tex]其中[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上有界，设 [tex=8.5x1.357]vzK1G0r/zx6aPN7sT7j6RIxGTJVf+xsXvRRrKKvvY+8=[/tex]对于 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]中任意两点 [tex=2.286x1.357]XaTTVoXY/80a51KuGOPIdYKNp2owPScK0DyjaaYAXb4=[/tex], 不妨设[tex=3.143x1.214]RswQWgineiwBLv07Zdj1+nc9rQH0QtG+iIHwwqIDTPA=[/tex],有[tex=18.357x3.357]aQbo9CEwVpHsSuoEnPy7W+MbJLrOvyLb6cbEPLGtkqO1orEA5hB1MP/prNkXOB1Y0s+qxBo4NKFoEMenM0BSGLobKIIkddGvsgCG9e9cpLjDkxIr+HdNUcJZ1m7yNhEiS/tGnvBW0tOrQbOrhPfW1+wPPjBApWKlLCSfdPhNQ3blwX3fSuzeTthU4kWV/RrLAD++86uKfTrHzD2ebvFTgafnnpOuzV5O17aPyOTBtqXwyu5C8tb3E19w3mGdZhFy[/tex]即 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件.由 (1)推出(2)  因[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件，故 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上绝对连续。因此[tex=10.071x2.643]4AC/OWlgpTxcrN5nZnR8nWSXdNLf09ifqxwmRkvpiFa1B5SCSXnrhkyLPpFxJC+q[/tex]对任意的 [tex=4.143x1.357]hAnfCELUw3N8UvRcBAdgkSDKkAyZ4U394w7GrCeuCRE=[/tex], 有[tex=16.071x2.857]1j2dyoFTA4dToDB+ph/ubDf4lCejedfLNw4gXG6XIndBhqRK+BJaVcWw6KA96coevfHrb/kO8Q+nlUBQnJTLS4UQz3sUNCWi58yQlR+i2uQ=[/tex]其中[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]为 Lipschitz 常数. 所以[tex=6.929x1.429]k5WmVyEs7pZLED18JtYsUFo8omSskTV3e48H0usVUwnf54i3dt+XnLKcK1xl52FH[/tex]于[tex=2.286x1.357]aNmDRIcyv1fj/FvzyKZOCQ==[/tex] 记[tex=13.929x2.429]pDeZUOCnpwXXQ8jZRCOUapGJbVGSW4vrX0yagS0A6v/hQB5+CJN9fz35Xvnn3CgsldslY1VuDbqXCQLkms+RZV3IvfVxmboc3h2AwzQd5zcjSgvRX4i9Swqz5b3V4tK0PH1oko6xVKF4jCwSKwwWxEhwRMlcrl2uSEsoLHt2TP836JE0heKfoq+B269SVjFE[/tex]则[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上有界可积函数，且[tex=9.929x2.643]bdqHkFjD8J01GKsyNpzv3Av8QQW2RnWP8quWTPJi/RHrspoGabWOOS35/srK3jQC[/tex]

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上可积, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上满足 [tex=6.5x1.357]UXaRUg7BF9zV7ojhkK/1rwe6GMJy7HOsBoWZi4KGW8U=[/tex]([tex=0.929x0.786]o6X45tpG/qifjWfiPhyOpQ==[/tex] 为常数 ), 证明 [tex=2.143x2.643]9b0SZgsi+TL9knQy95iF8392AEBaIU8lF6yXDNjaOsY=[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积.
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,证明： [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒为常数的充要条件是：对于任何 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 且 [tex=6.0x2.857]yINAHOXKHG7ruMsL/vkvBEYj6HewtfoBmgOlOkEMcJy2RxHEgnyJ8vpzCdsSLoLZ[/tex], 总有[tex=8.143x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSL4g1A5RDN/b3vHA6tm2w1heBr45R4BeYC3/TzlbrSns[/tex]
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上可积,[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上定义, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中除了有限个点之外,都有 [tex=4.5x1.357]g5nLB1f2rSsNKL5qY072JQ==[/tex] 证明 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积, 并且有[tex=10.286x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISeP5InpehyYXak28A033MDhXvTwEN9Hk0ozWBWZ0gGlFgyOpyoftjjpQw938qmEWdA==[/tex].[br][/br]
3
函数[tex=2.429x1.357]HahJs8lvA4tV0CFg1fYnxw==[/tex]在区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可积，是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可积的 A: 必要条件 B: 充分条件 C: 充分必要条件 D: 无关条件
4
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可微分.若有[tex=15.286x1.429]w6PVZnaDpV6OaJNAIufU/EP72TSbtHUhUz3G8wlhoSJsnDJY5w2KW+OV5pMFmANpOBZQCiaWdWSXdWajFQZ4nQJlvKNW65f/vV59CfSLqxU=[/tex]证明:[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的两个零点之间必有[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]的零点.