设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上连续，在[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]内可导，且[tex=8.571x2.929]fFonlOvJL97BJtDDWjLTkMpUV/kAP6KcQYPnTKTQ5/FfW7as1H+Oh8YJSjRwTqGh[/tex]证明：在[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]内存在一点[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]，使得[tex=6.214x1.429]rKROpRQ25Mc2UoUu0G9R54cFt36t7L2IdcO2bzM1wCk=[/tex].

2022-06-05

设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上连续，在[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]内可导，且[tex=8.571x2.929]fFonlOvJL97BJtDDWjLTkMpUV/kAP6KcQYPnTKTQ5/FfW7as1H+Oh8YJSjRwTqGh[/tex]证明：在[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]内存在一点[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]，使得[tex=6.214x1.429]rKROpRQ25Mc2UoUu0G9R54cFt36t7L2IdcO2bzM1wCk=[/tex].

答案：

分析要证明[tex=6.286x1.429]2wElYMJCFEwH5mQHrwGG97xdGW+CrG6pj1y8xwqVbBc=[/tex]即要证[tex=8.929x1.429]+geGCxwusa0jRm9ZXvV49mZNUUCxqA+L3i/DNNFV+mT792QVK/ze8eL2/FhpgbLSCxMo9lajD2C0Uc6e5D0HvQ==[/tex]，根据罗尔定 理，只要构造一个函数[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]，使得[tex=8.5x1.429]G/G8vZ5Twia9oTDYMOHHpAdpgWxlMxJxrWOygKmgpy5BIExdIJ3fDoZWBM3IDRgp[/tex]或者[tex=5.429x1.429]6K7fzMyddUBql0EFcqKp722vAUjQmRxAhYC5E06MoHY=[/tex]是[tex=2.429x1.429]aXb7OX6mdt0EhzAzoeML7g==[/tex]的乘法因子，问题就转化为[tex=4.071x1.429]yhbN7dyMQZPvuMIz+VACiewgliDLywwraqt8z1/QkUw=[/tex].从而可以用罗尔定理.可导.由积分中值定理知，在[tex=3.071x2.786]AB2b5E1ZOGfoGNDrWXTLtjvye4mGHz035vEUXclDSC0=[/tex]上存在一点[tex=0.786x1.0]YClmpUr0Z+jLhTxYPrv7Dg==[/tex]，使得[tex=10.286x2.929]DUVldNzBYbEjuzj4+8Nj4tQoc34y6K9uNsTRnAKYqGyTPhWZ22l8d8gt9UbN6aBuh2hBzqE9VmHdS3qJN0SXODp5aOdT0W/9GKT1+QNeyNnF9mzD60AOPyilZ6Uv9nXB[/tex].[tex=7.786x1.357]15jcnGHc7LowXFXlZlid7d4QN7cV3ByBPHQqkGOf7qPSCH9NSHk7MWDUy7yE0eDw[/tex]，使得[tex=3.5x1.429]yhbN7dyMQZPvuMIz+VACibQPDVTfSCJEQrD6DRHqD4c=[/tex]，又[tex=8.5x1.429]G/G8vZ5Twia9oTDYMOHHpAdpgWxlMxJxrWOygKmgpy5BIExdIJ3fDoZWBM3IDRgp[/tex]，故[tex=6.286x1.429]+9YPAi3tIYKOoKnwmCLdAD1qTTpKBtjIbCkKJ0NUYE8=[/tex].

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.857x1.357]OglOLj7Ng667O9tTlrdn2Q==[/tex]在区间[tex=2.0x1.357]rAyhWHTxe0sHhYyxn3yUNA==[/tex]上连续,其区间 [tex=2.286x1.357]CxEYjHLYst2+V1HHlu08Sw==[/tex]可导,且[tex=7.929x3.0]rqqgmkzD+tAWvUApGaztVzpw3rel4vOCnOoGZBjEryCS26wK2nHOjwZSnBNYESSh[/tex]证明在区间 [tex=2.286x1.357]CxEYjHLYst2+V1HHlu08Sw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.214]btcoQ/i0g1K3CZTbc8eZzw==[/tex],使得 [tex=3.643x1.357]lGM4f6i2u8zK9LtqSFMUYx9hzSTU9xiKzqOdXNW76IU=[/tex]
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 上连续,在 [tex=2.143x1.286]VykF7BpO3NFT550xU7Tx1w==[/tex] 内可导, 且 [tex=7.929x3.0]eXyK/PpyMcuuYVgSi2rPPIaW4XLrOTRUvRsvvoUdFPvreX2aexTeRWkz9nzGtnFG[/tex]，证明 : 至少存在一点 [tex=3.5x1.357]6qMAeXW7aY4R/7czmge3LA==[/tex], 使 [tex=3.929x1.429]J1CwxKWxc449JCeKPnNKmtR/v0rGK+9FGJDBQNDYW44=[/tex]
2
利用Schroder-Bernstein定理证明[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]和[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]具有相同的基数。
3
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在闭区间 [tex=2.0x1.357]AUoDsQBgen8/+sL3yGoyYA==[/tex] 上连续，在开区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 内可导，且 [tex=8.286x3.0]G6+1YvlrFaF5P6VmU9fE2DS/0iDMCyPAxzJiFHoWmePvQHjYU7G8KcZ6d3H2+L8aHxPQvbyXP1cPn+WOyl5f1A==[/tex] 求证: 在开区间 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex]内至少存在一点 [tex=0.786x1.214]KegfMaYpIlzP8JA53y93/Q==[/tex]使得 [tex=4.214x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOsmb1i8xL21i2iKFOotkgrI=[/tex]
4
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在区间[0, a]上连续，在[tex=2.286x1.357]Ht97hcqIYt6Lqb6DZyQqmw==[/tex]内可导, 且[tex=3.143x1.357]E5AUvOOYCnpTRWX493K7fQ==[/tex]。证明：存在一点[tex=4.214x1.357]T6k/55Xfdw94ctYUsEeqU85reCaC9ZVtGrw0MTs5Zfo=[/tex] 使[tex=6.714x1.429]gPSG9MmNGCF8Klft0Pu7N1IWg4jHaynEtj1oYU/K1lo=[/tex]。