设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上连续，在开区间[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内可导，且[tex=3.929x1.286]rry4HS9j03SSzVB9RUT23Q==[/tex]，若极限[tex=6.571x2.071]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t5l1SAe/HM45edYGn0PE4xrh0AdQiW8wb2OwnWB4aOnN[/tex]存在，证明：(I)在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内[tex=3.714x1.286]FOh2uNZfgGlH8S+OVIqrUA==[/tex]；(II)在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内存在点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=7.643x2.714]fcrG91uS2Lgsl5jlblCwp4sMxk/MN/6kuDXBJl4caC8ytdJsZobTJ8c0T5gsNKc3EJfimDaPvtxGWRFRLvHt3w==[/tex]；(III)在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内存在与(II)中 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex] 相异的点[tex=0.571x1.286]IvGNOcnlsPar7nw7Fd55Kg==[/tex]，使[tex=14.214x2.5]3nYslbo2LIrp8HSf5Pgt38MgVldrREnqVEVagfdSawttEikm+75KWA1ISMYL3EGRS5n2H2XtMBUp+nj+ic9Fzw==[/tex]。（本题满分10分）

2022-06-17

设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上连续，在开区间[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内可导，且[tex=3.929x1.286]rry4HS9j03SSzVB9RUT23Q==[/tex]，若极限[tex=6.571x2.071]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t5l1SAe/HM45edYGn0PE4xrh0AdQiW8wb2OwnWB4aOnN[/tex]存在，证明：(I)在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内[tex=3.714x1.286]FOh2uNZfgGlH8S+OVIqrUA==[/tex]；(II)在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内存在点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=7.643x2.714]fcrG91uS2Lgsl5jlblCwp4sMxk/MN/6kuDXBJl4caC8ytdJsZobTJ8c0T5gsNKc3EJfimDaPvtxGWRFRLvHt3w==[/tex]；(III)在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内存在与(II)中 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex] 相异的点[tex=0.571x1.286]IvGNOcnlsPar7nw7Fd55Kg==[/tex]，使[tex=14.214x2.5]3nYslbo2LIrp8HSf5Pgt38MgVldrREnqVEVagfdSawttEikm+75KWA1ISMYL3EGRS5n2H2XtMBUp+nj+ic9Fzw==[/tex]。（本题满分10分）

答案：

(I) 因为极限[tex=6.571x2.071]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t5l1SAe/HM45edYGn0PE4xrh0AdQiW8wb2OwnWB4aOnN[/tex]存在，所以[tex=8.214x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t9r4aQFf1iNEHkWIN1px5An/1chGzMeHs7RIVaeXxyNu[/tex]，由[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex] 上连续，所以 [tex=3.643x1.286]01iTHaAOWrq6T4dbzAxzlg==[/tex]。又[tex=3.929x1.286]rry4HS9j03SSzVB9RUT23Q==[/tex]，所以[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在开区间[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内单调递增,所以[tex=6.857x1.286]LPybyK1Jewh6/TyNgiq864D21iDFEXN5737tNuMHGMY=[/tex]；(II) 设[tex=17.714x2.286]ePar65xniktWyJ8cgTRdNCLplD+AUMyy5JHGhTGpOZ5OAI4p0TPhUG/wlii9uc8FhoyEKqr1SEXxzA1N9GgLgw==[/tex]，则[tex=7.071x1.286]B693tispmC1mrpL/k4lve2eFep5gSPv47uOvev+pVAs=[/tex]，所以[tex=4.286x1.286]wn3AEwTTab6tSAVkLfPsUg==[/tex]满足柯西中值定理的条件，于是在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内存在点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=23.571x2.714]O0oSC5yflP+ebxvhj2n7G+1R7E1UqJO0L430RTXnM+9c/PYmx401ApPT3EkssWqastC/cw79o3GrRn9XUh0R8nvdbjfgJkV2iFZ5Y8vVpiqPl/oZOkwV+E6k1t/OK4LeK7gn+ihtMzcvyhSLuILZDDuBtIx3WE1MS+gzGtZKE1Q=[/tex]即[tex=7.643x2.714]fcrG91uS2Lgsl5jlblCwp4sMxk/MN/6kuDXBJl4caC8ytdJsZobTJ8c0T5gsNKc3EJfimDaPvtxGWRFRLvHt3w==[/tex]；(III) 因为[tex=12.643x1.286]0BYw6rJzdB11AhANs9mchpri8fr21KT/RUUBBcdMCbnxKTJreYKDWKk1elALypYj[/tex]，在 [tex=1.929x1.286]9O4RGHCaCgcJdvR/iKWM/w==[/tex] 上由拉格朗日中值定理有：在[tex=2.786x1.286]S1eH86kW+z6UCBNmyFsgapHV9v3EczhHE85ASDzlpuI=[/tex]内存在一点 [tex=0.571x1.286]IvGNOcnlsPar7nw7Fd55Kg==[/tex]，使得[tex=8.143x1.286]/GuiqEDAexTDvsZRVrV8NjD8Eo4Oeah4cKaAWJkBkLc=[/tex] 。从而由(II)可知：[tex=10.929x2.714]fcrG91uS2Lgsl5jlblCwp4sMxk/MN/6kuDXBJl4caC+4HcEv62hcnJlco6vjdXUMgTxqOqKcSS+hHZJPZ59/L0pFjL5zVeJRzn81qHEAwrk=[/tex]即有：[tex=14.214x2.5]3nYslbo2LIrp8HSf5Pgt38MgVldrREnqVEVagfdSawttEikm+75KWA1ISMYL3EGRS5n2H2XtMBUp+nj+ic9Fzw==[/tex]。

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上连续，且[tex=3.714x1.286]vq1WWXxkiwp+KgHbVzU/RQ==[/tex]，[tex=3.5x1.286]tgMYivZCVo1kKaUfpBL7gg==[/tex]，证明：方程[tex=3.786x1.286]a7syGVnHJ8vV4xZ+ta96jg==[/tex]在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内至少有一实根。
1
设不恒为常数的函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导，且[tex=4.857x1.286]Rkfrm+InSW0h3cu+1iG9mA==[/tex]，试证在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使 [tex=3.857x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hY+rAdQu6nqvzbJhxnJ3MVI=[/tex]。
2
列举一个函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]满足： [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内除某一点外处处可导，但在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内不存在点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=11.0x1.286]2xbqG656S43Gy9MVz3WEQAnKOB/CazKKW978URURTPewS/JSDBGjv9Hp9gsiAjc2[/tex]。
3
若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内有[tex=3.929x1.286]0VLGTLK6v3MkNP58z7HiHUfH37QLXX7QsG7xAr/UV18=[/tex]（或[tex=1.571x1.286]ufeTdqAny0akHD5KuPTLTiK4uo09+1DOsfWDImqi2Tk=[/tex]），且其中等号成立的只是有限个孤立点：[tex=5.643x1.286]x3sKnlXCQns1X6SWQwt3GbQralZD/c6Sdz9tppwTPz0=[/tex]，即有[tex=4.571x1.286]hiozYwtwvx0Uaa7+mZCZgKFMpX3+9jwhDaQ2dxQYNPYCzsUpPBzIL34RZMDycRj3[/tex][tex=6.714x1.286]1FtdXGD0tdM/tDgP4ERQWghmx+GWqhu45MRJsZf3PGk=[/tex] . 问：这时能否判别[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在区间[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内单调增加（或减少）？
4
求下列函数的单调区间、凹凸区间、极值点、拐点和渐近线,并绘图(图略).(1) [tex=6.643x1.5]bfylM61K4fB2dxr0OSsfGnNoGCHA31PVTv+V6O1K8rw=[/tex](2)[tex=7.643x1.571]v8BogKFXW30N+HMJ7QR6DhxEDs5D0riUpoj095rhlGc=[/tex](3) [tex=3.714x2.143]X1YpNX45Pb+t3RD9Lv2Xa/npVx6iPUE04M2Y4K2k/cw=[/tex](4) [tex=5.071x3.0]4TWEbfJ+QFPbBo6PXWTsCrjc66tVrHBOTlDUBxhSpARz8/MfCO/nUo/gE3SyIffw[/tex](5)[tex=6.571x2.429]gt+k1kCw/+VFBVaKddmG6PvDvxiTdyZFXDwIPBeuGlw=[/tex](6)[tex=5.643x1.429]Hzyd6Qvm69qjRqgBIuKTx/cTmFyy56Dt2K/GC7NoCdc=[/tex](7) [tex=7.143x1.214]CwtdUElTamN1NqF0aKHeWGdaXEazoOnz3w3c67izzuE=[/tex](8)[tex=4.714x2.786]cxjZEag+Wbr67lAUIC3Slk2OV17yHgezOhFRferr5F0=[/tex].