设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导。证明在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=7.571x2.643]oMl9s9NJfa8eLuyTQI6HjH0P3SEFjEgVhry1X5YzHG2/urD013vNXJJQd3Z32mtf[/tex]。

2022-06-17

设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导。证明在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=7.571x2.643]oMl9s9NJfa8eLuyTQI6HjH0P3SEFjEgVhry1X5YzHG2/urD013vNXJJQd3Z32mtf[/tex]。

答案：

分析 由所给条件及欲证的结论来看，可以考虑利用微分中值定理。证 证法1 设[tex=11.714x1.286]MK/CZm2Uv0hmdyXYtbrzpgi545s2onQchZDrKhahYCk=[/tex]，则由题设可知 [tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导。又由于 [tex=3.857x1.286]Mv2OeBw3HBJJ7g2wonmbcg==[/tex], [tex=3.714x1.286]OnLtH8ws5Wt2eDB2WQLq7A==[/tex]，因此 [tex=2.071x1.286]Qz7NXZ3RTu6nNZBIiY7vWw==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上满足罗尔定理, 可知至少存在一点 [tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使得 [tex=4.071x1.286]y0+PbyKqUOEbLA7sArjM1ZzFj5Bx/JDkfZbDMhETx0M=[/tex]，从而可得[tex=7.571x2.643]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyhi7yg/mLi9vPEm3LrHmsy4K1yaRutSRgAlV6XLPUdJ1[/tex]，证法 2 设 [tex=11.786x1.286]IlqSQk/Awf2AP8xy2wVeYuh86y7nYMTeHmZKO82iTyc=[/tex]， 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上利用罗尔定理可证。证法 3 设[tex=8.143x1.286]IlqSQk/Awf2AP8xy2wVeYouz378Sn/7c68Z5zJ4RHk0=[/tex]，由题设条件可知[tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex] 在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上满足拉格朗日中值定理。因此至少存在一点 [tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使得[tex=8.0x2.5]PXe9kB8XDSomXOvcYQfPW8BnXXtKjGKxNsjuUvuU4dTDyaoXsSWLT2RI/0rGCUQV[/tex]，从而[tex=7.571x2.643]oMl9s9NJfa8eLuyTQI6HjH0P3SEFjEgVhry1X5YzHG2/urD013vNXJJQd3Z32mtf[/tex]。证法 4 设 [tex=9.357x1.286]ySsyXSYpPeCLFHWwaBiiI1XSqB+S/o/PPYaxUmGeB64=[/tex]，则 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与 [tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex] 在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上满足柯西中值定理条件，可知至少存在一点 [tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex],使得[tex=8.429x2.714]PXe9kB8XDSomXOvcYQfPW0jcv9WQTfZQpUdNCpyPwUMEl9LcNK2hl8iqrorUyl8h7YeaLfEe0vggjvTDEZ5iPR1L+qDovGzLXVI/jS0sylw=[/tex]，从而[tex=7.571x2.643]oMl9s9NJfa8eLuyTQI6HjH0P3SEFjEgVhry1X5YzHG2/urD013vNXJJQd3Z32mtf[/tex]。说明  这表明一个问题可能利用不同的途径证明, 而在一种途径中又可能有不同的证法。

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]连续，且[tex=5.786x1.286]NCwsRgbPMeUgkEDxQRD8ZQ==[/tex]，证明：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]，其中[tex=0.571x1.286]QPadlhZ3vYN/Hi29gpTrFw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex]为任意正常数。
1
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导，且[tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex]。证明：存在[tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使[tex=5.143x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hQtomBXUBJo6Y1MmZx2MEUM=[/tex]成立。
2
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]iUsFWWsvTT3QKVuoNVHl5A==[/tex]上连续，在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导，[tex=2.357x1.286]t1pHPvJ7AlZl1FT6fv2UoA==[/tex]，证明存在点 [tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使得[tex=11.714x2.786]gsRItoVAPUdmVFDgq3OHlvDizbNSjSedVi8mQDArtF8ubZDsRczIG/2j9CKEooEdvhCcHaIwgTS2f3gtjqwccTAqIlIAoOwkdIZuDHhtKvk=[/tex]。
3
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 且满足 [tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex]， [tex=2.357x1.286]cM9+68aDH9w9rd1A9Ckb6s4xLyBOG4xfMFFReFJUqIs=[/tex], [tex=2.286x1.286]LigwaoScOaIzMcYnxLOdp09Qt7W6Ohf+ldE+5hA59n4=[/tex]存在, [tex=7.214x1.286]cM9+68aDH9w9rd1A9Ckb6iSFef6QfFv9b7oZeyHxz4iAYy0tgB3ETWa8Wg2Ig1QopSteuM3xBbkT4rzd1hgtSw==[/tex]，证明：[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内存在零点。
4
若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上有[tex=0.643x0.786]FU7w6l1IEII0B13k5eE1RA==[/tex]阶导数，且[tex=9.214x1.286]zfdcAAIJlTaFzv83Qp3mXxHaizZ5rqRrpyS5+egiHiY=[/tex][tex=11.643x1.286]YRReUQzIsdcIgxj5peM19ICubHw4a6pLHpt06q7sI2fiSgw8mK5+K3zoy6gX0UZk[/tex]证明在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=4.714x1.286]+KMAJfX3nCHYWd/Hbl5DpepNimCYMH0c0+bE6yAi4sw=[/tex][tex=4.714x1.286]c8oFh94/2xphZYZtimVO8A==[/tex]。