证明: 整数环的不同子环不同构.
证 不妨设[tex=3.357x1.357]E001KUSIirsT81xoyGMK06oxYQhE3qXyOGuopCYmPf4AvkWjkPAADaLX8phGbdjv[/tex] 是整数环[tex=0.714x1.0]A/RYZa+bKKYYpjzBS/r5ng==[/tex]的任意两个不同子环,则[tex=3.5x1.286]cImTDYk3iPra4/NGVFkBADKpjRA8G8ypmUppKitCsZU=[/tex].当[tex=1.714x1.357]E001KUSIirsT81xoyGMK07CCUZoWkeqH9XZg6irWFIw=[/tex]与[tex=1.429x1.357]vBtvvCcISJwXsRVWcx+NsFuRS5hVqs2Xz6VIX5oPIco=[/tex]间存在同构映射[tex=0.714x1.0]y9ABqRCnjQW6yIa1BUBRPA==[/tex],且[tex=8.5x1.357]XawGtMuyiADpeE9H9JsJEchvh7phPNaJxRlX6BAcTw8=[/tex], 所以[p=align:center][tex=8.143x1.357]vC3nBqUrxthfLICgpFCEbdoPv9FJJSjzmi1+aXf9yhI=[/tex]进而[tex=5.429x1.214]TErUVkicg2rxyp/k2B4+5g==[/tex], 又[tex=2.5x1.214]9h+ZP/ny2gOih6U2jplxGw==[/tex], 所以[tex=3.0x1.143]/ARk3EeJwy72LtC+EizoMg==[/tex]. 若[tex=2.357x1.0]5r9CDd/i/ko6eIPZoQsG0w==[/tex] 时 , [tex=3.714x1.357]vQjHcjrXyVHy8njepiTuCQ==[/tex], 故[p=align:center][tex=12.357x3.929]a0s3MH7cLIdmiBRR0YN062hA3j9fNS6jFXJbZZLs4wlE7B5JXVN6c8myA2uMyyo5P61SkP3yD6PPMl2gx3qP6WDGFGBtxgFmra9NFZdxNTB/MUWUI1siXWxz+D0iqtRlQqxNBaXa5N7SmXN3/CZ9AT5F2VjuK3tF4setwhh+J20=[/tex]于是[tex=2.286x0.786]PADPZ6c7pmHMQykrVi+BVA==[/tex]矛盾.若[tex=2.571x1.143]DvvTmQqcHWYGF9pPCAwBYA==[/tex]时,[tex=4.5x1.357]E72UygYvqXGxm1fQ8vst0A==[/tex],故[p=align:center][tex=15.286x3.929]a0s3MH7cLIdmiBRR0YN062hA3j9fNS6jFXJbZZLs4wlE7B5JXVN6c8myA2uMyyo5P61SkP3yD6PPMl2gx3qP6Tu257APAPxpAFBkFfFSbjkP8MjuZttX+UHRvBQRsPAK3hpNgjXgUMujxtc1AH6XDIYlydUtaeC+iKkazf6DqawmDbzfzMx+jS0tGj6PQ0eO[/tex]于是[tex=3.071x1.071]LMj2cCKaZO86VOwhGUplZQ==[/tex]矛盾.综上可知整数环的不同子环不同构.
举一反三
- 证明整数加法群的自同态环与整数环同构。
- 证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构。
- 特征0的域中，一定有一个子环同构于整数环。 A: 对 B: 错
- 证明环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]一定与某[tex=2.071x1.0]zzPuMeNk+EFPFGR0ytNhAw==[/tex]群的自同态环的一个子环同构。
- 证明 [tex=0.786x1.0]59uVln8a2zRyv0n5hgPyQg==[/tex]的一元多项式环 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 能与它的一个真子环同构.
内容
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试证整数整数加法群与偶数加法群同构，但是整数环不可能与偶数环同构。
- 1
证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]能与它的某个真子环同构.
- 2
整数环是无零因子环,但它不是除环。
- 3
证明: 高斯整数环 [tex=1.643x1.357]tH/htQSLgafmUJPqLqUFAg==[/tex] 同构于 [tex=5.643x1.571]EbZYyg5MywIuQmXnllZbt3/LhNstkj86IMw3WObFl/Y=[/tex]。
- 4
不属于无零因子环的是（）。 A: 整数环 B: 偶数环 C: 高斯整环 D: Z6