证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构。
证明: 作映射 [tex=4.214x1.214]Z6j9zYLNFJtFCcwQ4nkDC/wi6/y5tyFeKj2LhXvYptw=[/tex] , [tex=3.071x1.286]ouCZwv3L4p3rRbNec7+h6yvZhsBEciLhAkiFK1UkJ58=[/tex], 易知 [tex=0.714x1.214]rcJkJj1Z7lIqZdurh+BW9Q==[/tex] 是一个一一映射。[tex=3.357x1.214]3p9vSbuXy9b35NRjagiE2bJquhwypYLLXPP80I3/jMY=[/tex], 有[tex=6.857x1.357]zQKOHHpsMJnDx4b/JF7BvLIYRwjijnNGl/jez+68jCo=[/tex][tex=8.571x1.357]LxSE4oeeBrXsxGcAxLf8YO6gmR4wHtMcP/N6U6Qs4WU=[/tex],得 [tex=0.714x1.214]rcJkJj1Z7lIqZdurh+BW9Q==[/tex] 保持加法运算。所以， [tex=0.714x1.214]rcJkJj1Z7lIqZdurh+BW9Q==[/tex] 是整数加群到偶数加群同构映射。 由于两个同构的环应该同时有单位元，或同时没有单位元。因为整数环 [tex=0.714x1.0]RRR4SYyCqv01G5bWEEMPdw==[/tex] 是一个有单位元的环，而偶数环 [tex=1.214x1.0]6vNgX0BKAk4uktGAG35CAw==[/tex] 是一个没有单位元的环，所以，整数环与偶数环不同构。
举一反三
- 试证整数整数加法群与偶数加法群同构，但是整数环不可能与偶数环同构。
- 证明: 整数加群 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 与偶数加群[tex=1.214x1.0]+V46ub7nxPznegKWRX7v4g==[/tex]同构。
- 证明整数加法群的自同态环与整数环同构。
- 整数集对于数的加法作成一个群，称为整数加群，记为(Z,+)。偶数集2Z={2r|r∈Z}对于数的加法作成一个群，称为偶数加群，记为(2Z,+)。试建立整数加群(Z,+)到偶数加群(2Z,+)的映射f，使得f是整数加群(Z,+)到偶数加群(2Z,+)的同构映射
- 证明: 整数加群[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 不与有理数加群 [tex=0.929x1.214]ipY8J/5IDyDdvaflKWkPEg==[/tex] 同构。
内容
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证明: 整数环的不同子环不同构.
- 1
证明环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]一定与某[tex=2.071x1.0]zzPuMeNk+EFPFGR0ytNhAw==[/tex]群的自同态环的一个子环同构。
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证明:有理数加群 [tex=1.357x1.214]DEV9z8SSEsqMx/o8bJXg9A==[/tex]与非零有理数乘群[tex=1.214x1.286]EO3AF/aDCV75YIxwR+TMWg==[/tex] 不同构.
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整数加群为交换群
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以下S_5中的子群哪个同构于4阶群环群?()