计算积分 [tex=5.5x2.643]J08/PMrDO5oQwxfxVo5wXADgwSXL5RwBdhXprbyqFRg=[/tex], 其中 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 为不经过点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的简单正向闭曲线, [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为整数.

2022-06-18

计算积分 [tex=5.5x2.643]J08/PMrDO5oQwxfxVo5wXADgwSXL5RwBdhXprbyqFRg=[/tex], 其中 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 为不经过点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的简单正向闭曲线, [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为整数.

答案：

分析  本题中我们根据点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 与 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的位置关系以及 [tex=3.071x1.357]GEUOoeJrxVyuwjB/b1ORdg==[/tex] 的解析情况,利用复数积分计算公式和复数积分基本定理来计算.当 [tex=1.929x1.143]lxB1bMnV8qJ2o/SNFZruPQ==[/tex] 时，在复平面内函数 [tex=5.571x1.357]5SEzF55ZbUa3VuSUDrozpdqa0m0q3Ian6pJSFCm5fmg=[/tex] 处处解析, 所以由柯西-古萨定理得[tex=5.286x2.643]tEc8HfocG8h/83PXgcQ7mgv9NukKYUtG5O+ZTTASRKQ=[/tex]. 当 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 不在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内时,对任何整数 [tex=4.071x1.357]iXAc+hMARvYbXabVbevMVA==[/tex] 在以 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 为边界的闭区域上解析, 从而 [tex=6.714x2.643]J08/PMrDO5oQwxfxVo5wXFxSN3zfhNt+LA1AzCyVQAM=[/tex].当 [tex=2.5x1.071]f0WLlJsf+E3d5DhkY4Jdow==[/tex] 且 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内部时,则在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内挖去 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的邻域: [tex=4.214x1.357]20jIrDOg21ValZVxoEdR4Q==[/tex], 利用复合闭路定理及复积分计算公式得[tex=23.429x6.214]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr+SHVhw98bxRDaLuYuBhD5mqOHjiQk8f7uHrgbNqDhi4N01T3dO+6lpd7nz3eblLBy/vOCBYF8l2/tOyKOlS5WipbXLel7IApeD2xGnGVzrLryHwQpO/TdkqIBmCLpp/Zf/d6/YgAyDz4n2BxIFvmR58v1eNspdJjcwWvYiiUl9vcc9KzpoOefYybbzGW4orNw8Wc5QbsLFDnrFdDg0+QAqgHyUZnnfSo7XXvKXqpqRea96PXmQ2cUkSE4I6cYCs+EOv/NFmWiWA2cXNS4iHyKYGI2ooJ5SZI+uZQsBC3q5m[/tex]当[tex=2.714x1.143]5SWqnGyd+4f8uj/jWEhtJw==[/tex]时, [tex=8.286x2.786]TsAUIF3pWh7cpiVYYTU26avMekAElGoYG5fiqKT3VPCmPdKdIYn+Bo2B0Iok9CvpL3dgMX8TmIulhS8BOVE8Rg==[/tex]当[tex=3.214x1.214]uCk8aHrOEkQGvtkjCLm2Hg==[/tex]时, [tex=16.357x2.929]TsAUIF3pWh7cpiVYYTU26bLrFeDGAnndSqznDB6l75w397Nyhckcuu597kJwvBXbA4gTybt6ZOuHdOd0RBiMRmm3rRytFavjT1N2zEKTaj3ytXU1TiObobBzrCqFSiH/iNwz78pqp9daQwyXsxwLQfWMYTIP6bXgaDCkBUJ+v5A=[/tex]综合上述分析,得到计算结果:[tex=19.214x3.643]rGJTUs1hL+9QXH4q7WPEXzW0F1zpl4cnizZOStWy/P+o5rnOd2dVA2r9QjnDNogmGco6JvFiB1FpQQx029NZf/XQW4yYvUx6Ajl2d3FOlUpwqZrruby5w6m/gVoLAK93xXevADTgYrpYaCO5SFlqD7bYWf96AE5HR4AuO2o9rwU=[/tex]

举一反三

内容

0
计算积分[tex=8.071x2.643]OLgK4vtLcwvh6iS+aVoSH47SlFSnH7fcv1ecWqv2Q48KpSBaSELR9jA5b7TbKeAP1WDQkbjiPI6sFsx9oC2z7A==[/tex] 其中[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]为正向圆周 [tex=4.214x1.357]I8OhSf6VthyLUVMZG1fj7Q==[/tex]
1
设函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在复平面内解析, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是复平面内不经过点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的任意简单闭曲线,试积分 [tex=5.429x3.286]LLidHQXbr8FGd2i6sqjpws5upqGQffGk/iB+K46NwiWyjkuw11zSkGeV2Z29QI6b[/tex] 的值:
2
设函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在复平面内解析, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是复平面内不经过点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的任意简单闭曲线,试积分 [tex=5.143x2.643]5LDk/yOY52HtPhtqLBJc/c7F0YKcc4E1SH1qsTtrUBEqn0azw8Dh7gEPd8tPXaS3[/tex] 的值:
3
求函数的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶导数(其中, [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为常数): [tex=2.286x1.214]t3G8KTL/tIEXPSBABYfNEQ==[/tex];
4
计算积分 [tex=3.5x2.643]wbDo/nS6ZVY5fjznJuTgRQpZ8xPvk2PAUKhKpiXr2I1zcNiQSecab8yhmOrAb9wh[/tex] , 其中 [tex=0.714x1.0]0x4Su7TCbst8/jAFAM9VFQ==[/tex] 为正向圆周 [tex=2.357x1.357]tzNGPi9Zx2v+1OAzo9s1Yg==[/tex], [tex=0.643x0.786]7a/0FnEfoPTV4M3l6DsKxg==[/tex] 为整数。