设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是赋范线性空间[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]上的线性泛函，则[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]连续的充要条件是:[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的零空间[tex=2.071x1.357]ACaVOH6l1K4ykFJiDz3UOA==[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]的闭子空间

2022-06-01

设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是赋范线性空间[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]上的线性泛函，则[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]连续的充要条件是:[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的零空间[tex=2.071x1.357]ACaVOH6l1K4ykFJiDz3UOA==[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]的闭子空间

答案：

必要性显然。充分性:设[tex=2.071x1.357]ACaVOH6l1K4ykFJiDz3UOA==[/tex]闭，我们证明[tex=4.857x1.214]ghJXJtBd3IXQSpXoMpDSwVHkUsT0YlZLtOxA51h3tudTxwD6GfjIVPgujPyeN0AS[/tex]，使[tex=2.857x1.357]bzKYngdtXBTPA+NPTOOBLg==[/tex]时，有[tex=3.643x1.357]MJ87acJaTNnACYkFS8TEJhkcRg41dnjhiwAYxtbF4ng=[/tex]。不妨设[tex=2.357x1.214]T7hUkd8ChcBNUv3llsuU6g==[/tex]，取[tex=2.786x1.214]Rxw9EmFxToAB4vn0Clv3UQ==[/tex]，使[tex=3.786x1.357]c4OlizjdCRtXhPXx3JG8c8eEGb0oPTaUGJQ6kiH6498=[/tex]。考察集合[tex=11.643x1.357]3OpiXQkrHVJ9q1kYjp+zVWPt285Y5tu6vO8J3OICsbw7lD0wfwiY46RjzzYKaWUI[/tex]，因为[tex=2.071x1.357]ACaVOH6l1K4ykFJiDz3UOA==[/tex]闭，则[tex=3.786x1.357]pv/hj+eHchrE4qfiNeHJNA==[/tex]也闭，且[tex=5.0x1.357]4PmGEk3ktA5mPj5JCu5M7kOuiFfE2J3qaBwm+9Tt7Zc=[/tex]，从而存在[tex=2.286x1.071]QW2iyflVCSpV4GGYZYloJQ==[/tex]，使[tex=10.0x1.357]aHnnjYrfEjRvjuTp37dIb6iGXoQPJn4lCeYSAoavv2LaSvJFzdo6f460o/eQj4xQIW00EEo66UFLU5iPhdE85A==[/tex]，于是可以证明当[tex=3.857x1.357]Hb49xIjaunR1TDZ6PbHtvOhHotff+kN4QSPTFjn5qk4=[/tex]时，[tex=3.643x1.357]rLp1Z+GZv9r3wlqUCyk0dOEvg0oFXrcObb7QRkMZLkU=[/tex]。事实上，设不然，即存在[tex=3.857x1.357]Hb49xIjaunR1TDZ6PbHtvOhHotff+kN4QSPTFjn5qk4=[/tex]，使[tex=4.214x1.357]R7x+4MKaGwG22UakIs5UvVMAz7RwMH6FX+xAItY3LThHEXZE/EUYx/wD0FkUV/ap[/tex]。令[tex=3.571x2.429]aYIMXX27KjgJG92e+Z9v2Owlmvqzb44fXaDRbzL8aBA=[/tex]，则[tex=5.643x1.357]gWUN1jT1SOxBbgN7OYZPrIW9qFsepc4US+8NPS3SeIc=[/tex]，且[tex=9.643x1.357]cjN781mPFETQXeS1wLHonPJPm+g1uwPX5YEuyPdrNNT0FnZhlqGoxFSUw1b55URZnNUYED9q5T/o8dkbh4rzKw==[/tex]，故[tex=9.429x1.357]v17PVkaEZt6kPwmoHYW3f7sv71QNiEbwzgGXWL/kZvTD+4Y5SJEmAxlbVExXtTgN[/tex]，矛盾。证毕

举一反三

内容

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（3）举出函数[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的例子，使[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为闭区间[tex=2.0x1.357]khGQOVqy3eZik4Tp7/+YjA==[/tex]上的无界函数。
1
6.设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为区间[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上的单调函数，证明：若[tex=2.071x1.214]uZALtAU1binRI5TJxsGXbiEQukpWazitXMwcS5eDdtY=[/tex]为[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的间断点，则[tex=0.929x1.0]tstbm1OuPyfyNcfVXQkZzA==[/tex]必是[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的第一类间断点。
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设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是有限集[tex=7.714x1.357]sskGT5Tz8PulqEaZ4pYTBHAT9LX9QdIygrWMqtn3GqItVCA4xD1DZgVlJR2ZF3Dt[/tex]到自身的一个映射.证明：如果[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是单射，那么[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]也是满射.
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令[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]和[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]分别为从[tex=4.357x1.357]LsWQRhiEEzBqMDJAvxoJXQ==[/tex]到[tex=4.286x1.357]DXOFGwIL7ksCaqwTJtbY/Q==[/tex]和从[tex=4.286x1.357]DXOFGwIL7ksCaqwTJtbY/Q==[/tex]到[tex=4.357x1.357]LsWQRhiEEzBqMDJAvxoJXQ==[/tex]的两个函数，且[tex=12.929x1.357]nWncE6ESsEORq1wDR0KqQ+PEhsHuRi9E0GShA8MhfzE=[/tex]，以及[tex=12.929x1.357]7m7yNWuw77Bb0TI1MfAj5FGr1kMzzNEgetdv05WNWyo=[/tex]。[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是否是映上的?
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设[tex=21.5x1.357]e/qDObHHjaiyGf79kizT4mHgVQp6IgmWBMhKNMbK3x7ub7/GUns1vWj2lKT5X6wWloRIjTP61w7Fp2Mrn0nI1EKgCcUSfjWtzGs9C9Fp+iF/UjTHDWchf7uGwg/8bn6zjRqGMUosPfO2IqRx+h8Ypw==[/tex] 判断下列命题的真假.[br][/br][tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是从[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]到[tex=0.643x1.0]O+viFNA0oHTwnBtQyi80Zw==[/tex]的双射.