证明：所有实数的集合作为有理数域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间是无限维的；所有复数的集合作为有理数域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间也是无限维的。
举一反三
- 求证: [tex=4.214x1.5]ylKvzKcKDMvGGB+TUFio5tyaPWYMYiCjKHUNyTU+HbA=[/tex] 在有理数域 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上线性无关.
- 取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。
- 证明：数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的无限维线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]一定含有无限维真子 空间。
- 设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维实线性空间，如果保留[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法，但在纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]乘以向量时，限定纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]只取有理数，如此得到的有理域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间记为[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]。线性空间[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]是否是有限维的？
- 证明下列线性空间是实数域上的无限维线性空间:实数域 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的连续函数全体构成的线性空间 [tex=2.286x1.357]w0V/CiXuX1+xa+kdyxqW3Q==[/tex]( 见例 3.22(5))