证明：所有实数的集合作为有理数域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间是无限维的；所有复数的集合作为有理数域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间也是无限维的。
证：反证法。若[tex=4.5x1.286]NovbxKl63Ey/milqTcbe/4Mhf6Cnl/lkrXIPZY/XE1xeOP7KCeuDGFgznUf7UXEk[/tex]，则[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]中任意[tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex]个数线性相关，对于[tex=10.571x1.357]gCuX8EqncZK+/BHoEipTYe5mSd60gXrPXuA83Jdte157/Dx6tEMv4QanoEL1F8KhU5v4GcGxwe3uCKhEkNB/Zw==[/tex]，使得[tex=16.071x1.214]I9EVRktjwiZOQ7v0uho0a7rHmBZjaDs6+J4G/Nd4U6swQJrg0oAfAHQHrAVS7y6e+/QQL2vtUBp4AoCS71atb0JBFtAfY1rrMmJCZiXMUBE=[/tex]。不妨设[tex=0.857x1.214]l/wl2ydXQlBxRZnkz9EaVQ==[/tex]为整数，否则两边同乘以[tex=0.857x1.214]l/wl2ydXQlBxRZnkz9EaVQ==[/tex]分母的最小公倍数即可，则有[tex=7.214x1.643]jCejHgxjyl0c54KB22sJ6QHkLoIZ9UpucDlzNCPEoRP3aH9xlx5alsreC5AGizmLz/REp8GnglrHVYakCZ0q+6J2w2RaS9oeL3GVOhjQuiA=[/tex]。显然[tex=9.0x1.214]6CzHpBoEVdfGanuoycm4yKj3ZVWMbDPo91bCrDeqKKnRrCqCCUwuhG+zkrjpK6+5hQBPqYz7lDatNBgi3gxsiw==[/tex]，矛盾。因此[tex=22.0x1.429]NovbxKl63Ey/milqTcbe/4Mhf6Cnl/lkrXIPZY/XE1zavYKvNxAFVnJ0oSjQMwM7rBdYx9gMOchOXA07HCrZ02b87P7PeK0bcuYmu7mcoTqjymWBHszVAeE6FRuFjarC64hqZ1FQIeU3Wg7k53kV5gxfpEJUNh8NI+1wtJURQwxXggQxMOkWreM6gnwjfw4utlnovkLhFwCgpaUU2HMY4LAkvAylJ2z/Husarq/PqeomLIuKDC4r3BfgyI72boeF2v1IXIg3HnaWXJ6zMR9g2Q==[/tex]。
举一反三
- 求证: [tex=4.214x1.5]ylKvzKcKDMvGGB+TUFio5tyaPWYMYiCjKHUNyTU+HbA=[/tex] 在有理数域 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上线性无关.
- 取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。
- 证明：数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的无限维线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]一定含有无限维真子 空间。
- 设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维实线性空间，如果保留[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法，但在纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]乘以向量时，限定纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]只取有理数，如此得到的有理域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间记为[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]。线性空间[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]是否是有限维的？
- 证明下列线性空间是实数域上的无限维线性空间:实数域 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的连续函数全体构成的线性空间 [tex=2.286x1.357]w0V/CiXuX1+xa+kdyxqW3Q==[/tex]( 见例 3.22(5))
内容
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证明，复数域[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]作为实数域[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]上向量空间,维数是 2。如果 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]看成它本身上的向量空间的话，维数是几?
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证明有理数域 [tex=0.857x1.214]yf2WhC6dow23mEHpBHcQLQ==[/tex] 是所有复数 [tex=3.714x1.357]Rhi5znOsNuwBCtSMyAB5Sg==[/tex] 是有理数）作成的域 [tex=1.857x1.357]dPMSBCHj8lEF1lxo7VsfRA==[/tex]的唯一的真子域.
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证明，复数域[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]作为实数域[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]上的向量空间，维数是2.如果将[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]看成它本身上的向量空间的话，维数是几？
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问：[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的单扩域[tex=3.0x1.571]ZTs2EJYv0IfTavBKTmLgMG1c7ibl9ZcRi0qtMdQ3kdE=[/tex]是否为[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上某个多项式的分裂域？
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复数域作为实数域上的线性空间,其维数是_