如果 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复方阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 相似于[tex=12.5x2.786]NovbxKl63Ey/milqTcbe/8xrWUI/SyQkWJs1uodj6nPWe/eYr/J4xTq7sSe4kvItEm+oxG8NZqOuG7BtYHFoMweend9nnAloQY835ERYXzOBAQrOyri5vd/mLZsq9XAidlnAlJLGDo+lp5oWc8fkgw==[/tex]就称[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为反射.求证: 如果 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 满足条件 [tex=2.643x1.429]vDtFbFN2n8pkyvWYREldMQ==[/tex]则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可以分解为不超过 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个反射的乘积.
证明 由[tex=3.929x1.357]FhuMCIXIRCG4NNfeGFP2pw==[/tex] 知 [tex=2.286x1.357]w2XmTHExyZkDXMoo8vLZvQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的零化多项式. [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的最小多项式 [tex=2.429x1.357]Mu6PbeBOG4f8vFn3qFcXRx2hgCKTqV9xwnr8MxOD98o=[/tex]是零化多 项式 [tex=2.286x1.357]w2XmTHExyZkDXMoo8vLZvQ==[/tex] 的因式. 再由[tex=2.286x1.357]w2XmTHExyZkDXMoo8vLZvQ==[/tex] 没有重根知 [tex=2.429x1.357]Mu6PbeBOG4f8vFn3qFcXRx2hgCKTqV9xwnr8MxOD98o=[/tex]没有重根，因而 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]相似于对角阵，对角元 是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征根，也就是最小多项式[tex=2.429x1.357]Mu6PbeBOG4f8vFn3qFcXRx2hgCKTqV9xwnr8MxOD98o=[/tex] 的根，必是[tex=2.429x1.357]Mu6PbeBOG4f8vFn3qFcXRx2hgCKTqV9xwnr8MxOD98o=[/tex] 的倍式 [tex=2.286x1.357]w2XmTHExyZkDXMoo8vLZvQ==[/tex] 的根，只能为 [tex=1.571x1.143]U3vBu0+YEB+mWyW197TXwA==[/tex] 这证明了存在可逆方阵 [tex=0.857x1.0]sKuuIgoU/ynFEIl8B2/CpA==[/tex] 将 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于[tex=13.929x1.571]Z41pe6qe3K5oPm43qx7TIQ6WtDKXYbGsQRWR5IVonqwMN/rBuLwK4hkzwkkbOtJxOF176QIOAG3QvfxbG6ixDES3GSruA0AbsmHWUX5clrs=[/tex]记 [tex=14.286x2.786]mqYf3GGuJDwTQSXHI43FFjhcOs/VH2T+/WMF8rvm6kZy835+NOodmJ0AJ/HApUI5BXj2DM4e+rFWoAU26JV26walEvGsSMxLi/PPMFC2O7qW/lAmEi4blk6NTk36T5+WxPvBMzHH4cpiS6hpZebmyQ==[/tex]则 [tex=2.857x1.214]KxfR04rw7MKynufzFNAbOA==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 相似的任何一个反射 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 也满足[tex=2.429x1.214]Vib/DoFotiNr/IWxiElxDQ==[/tex]如果 [tex=2.143x1.214]xNHkNNqnkb4ZxbQu1mnD+Q==[/tex] 则 [tex=2.0x1.0]ajYUl/mMPCj/bPrr8LGHKw==[/tex] 是任何一个反射[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的平方，因此[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是两个反射的乘积. 设 [tex=2.643x1.214]dC3XwsjU5FIdinZ0DN1Wuw==[/tex]则[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 是 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 个对角阵 [tex=1.071x1.214]9hvYUoLDP4uogWZOWYFMjA==[/tex]的乘积，其中[tex=4.357x1.214]MS0PpD13pQbJBAfhndSViqKyEH6Q14QHC77Ph/LHf2o=[/tex] 每个对角阵 [tex=1.071x1.214]9hvYUoLDP4uogWZOWYFMjA==[/tex]的第 [tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex] 分量为-1, 其余分量都等于[tex=5.5x1.214]17BIrE2cTGbb1kMnyWb3TfOFUw9q44vF1nxN0hB4oGk=[/tex]是 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 个方阵 [tex=10.286x1.5]mtqyCL+5RBGt+Cp+d9jyoJBeBSx01UScrxlEk0Z+d1mSu9tgV8GEQgTcOylek0ow[/tex]我们证明每个[tex=1.071x1.214]9hvYUoLDP4uogWZOWYFMjA==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]相似，于是每个[tex=1.0x1.214]134fDfyZx2aGiyeQW3vIfw==[/tex] 也与 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]相似因而是反射， [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 个反射[tex=5.857x1.357]lTC0NpQr0BIZpHxldHKFFjaoeQS3wuvrvocyCXADO6c=[/tex]的乘积，而[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]不超过[tex=0.929x0.786]lxK7J2TkjjIzWdTjZIk12Q==[/tex]用[tex=1.071x1.214]9hvYUoLDP4uogWZOWYFMjA==[/tex]左乘列向量空间[tex=3.5x1.214]nLwE/SAubYGrO2pzKHKT4mfh9GYC0y7zTVZo3fpZjbg=[/tex] 中每个自然基向量[tex=6.0x1.357]h1uo6hyz4LfZESLwebKoCdwYhlX0dp5Mct6fPiLNyS15EjR6TdhSBjb8gIipereP[/tex] 的效果是[tex=3.643x1.214]suDxlKiTn50atKEgl7w8J6b+nrGGhJr1Qk6cJkoAblt9P/q99CwfBms9P8L3cJPc[/tex](当 [tex=2.929x1.357]koo5jUbNKf6zYZW1tszcIw==[/tex] 而 [tex=4.714x1.214]suDxlKiTn50atKEgl7w8J2vhPnuQPFTEm30P+VW3TZ0=[/tex]列向量[tex=9.214x1.214]QL6kaPPD0lmbC3WOmW4ZPDVWGEdJljXczomT7WwgWnEjUACoWI/5cenJwRYAfA77+MsyjgQz5b24YVA3rCYc1Z4antCQR+Z3PnPib1CCkmk=[/tex]以及[tex=18.071x1.357]uIEbofRZhbgZf4hWL05+Iyz/LtIZLKVYp4O7hq4Kq59hZ/zNn8Lh1DMPYMAdF9f9H6tqZSIqV61tN+J6U+4Ea3/PtEc1FBzh6MHAmXb8JewN4gW1nwvUBnlMLakgNHem[/tex]组成[tex=2.143x1.214]enPfQUWVuCg3zUgulF25mxr9jcKatc+CQlgo92iO3vU=[/tex]的一组基, 以它们为各列排成的方阵 [tex=7.571x1.357]UjrbYB9In4sItjNLDiBhV+kjSeFK7w8LxTUpEfkgm+SeuMH0dcCMc/Q94/mctOqN[/tex]是可逆方阵. 我们有[tex=25.714x1.357]5bRbKyCztOr7p5zSdLFFi4UImemck2sowFpeGYStgX3G9kyxzisjeAA3qj6y6Wj9wQ4Hni3RVDsly2L+CkEdNBkbQNGk9jaG3U2js3HNOevVPsWTHfeNePFmPu+1UrjKlMAWiHj/rdfjE2cYLp/uFxrlnDHSdaV/1GKhdcIoYlZ23IHOWb8JkYv71C85NaX8xjgBuAlcb+o00NyXgFFNx/Omq58kRZjyEN7cyGxyDk/IgigGEWf45p2+lh23dHRNNeOPI3iXWbkwCqDhHhSROA==[/tex][tex=9.786x1.357]b3FeBCbGMQoir0IaH0Jnc9QiYwL8bCR8vVZb/EjHk896lijtzM7qv7zRzaOJQMT3qAjwyHokwHb1FKH0RXgHHg==[/tex]这说明 [tex=21.929x2.786]ceJbB8xHEY7eKeonu4A+pHpg9fXw0XFrDTgkWpRWR6OK240dc7wJt8qYIGPFEu31IlZCSDxbzCuMYbETvVXDluVn+L12F50skWR8qaoBHPLhTHjwwCyd1VmNh7wtI+4ToJs47BTK52of8MF5euiD0OU7Duy6uais6hJMBwNozuPO1zEavx6KnYWb7tuUlnrE[/tex]与[tex=1.0x1.214]134fDfyZx2aGiyeQW3vIfw==[/tex]相似, [tex=1.0x1.214]WVJqnsJ7n5zNeEmPTKt23g==[/tex]是反射.于是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]个 ( 不超过 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个 ) 反射[tex=1.0x1.214]134fDfyZx2aGiyeQW3vIfw==[/tex]的乘积.
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶幂零方阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆方阵，且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 可换，则 [tex=5.071x1.214]RN2thfSI1MmKxRcibVWDuJHiSryPX2cHjTCV9twFdmY=[/tex] 都是可逆矩阵.
- 若矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 即 [tex=2.786x1.0]t6ogScZVzQ6nmR7J34fx7Q==[/tex] 但 [tex=4.5x1.429]LeMsK/GHf6ch8ZOCybGouXwgjeQprbWyKA1XUXYVQGI=[/tex] 如果 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是同阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex].
- 证明：设[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]不可逆，则存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶非零的方阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]，使得[tex=2.786x1.0]vO6oJG3HrH4S8DSEg9aQaQ==[/tex]。
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵, 证明:[tex=5.429x1.929]cRSSutUe8lxP7o+KrExJjIlQDv25D1qSOdQh99TznTk=[/tex]
- 设[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]表示[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的附属方阵，证明：[tex=5.786x1.357]cRSSutUe8lxP7o+KrExJjIlQDv25D1qSOdQh99TznTk=[/tex]，其中[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]也是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵。
内容
- 0
设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵，且[tex=4.786x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/97kbYTtc4UaxxIL7xWZDcw=[/tex]与[tex=4.786x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/3OmajAGB5SKGaQYfWvAnNY=[/tex]相似，求证[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]相似.
- 1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, 满足 [tex=4.071x1.143]23C06xV+qahUl1T3xcoZnwRQpH8YtXCwkd9Ub4sG38M=[/tex],证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化.
- 2
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 满足 [tex=2.714x1.214]+ZPJntj7xYfllBYE3zVGBw==[/tex]，证明（1）[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆；（2）[tex=9.786x1.357]06AJfdzBDu7SdZ9anbGLIPmuCvp8KJZXpIhBloDxMHk=[/tex] .
- 3
求满足以下条件的所有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] :[tex=3.857x1.0]tNiosWebdYcf0C8jjboJyA==[/tex].这里[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是任意[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵
- 4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.