利用艾森斯坦法，证明：若[tex=0.857x1.0]1pX++wa8b4CaednM2VVANQ==[/tex]，[tex=0.857x1.0]2T0fdlSZutPzGA1HapWNSg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.786x1.0]RUC1n2Afxn11T0/95f4NFQ==[/tex]是[tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex]个不相同的素数，而[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]是一个大于 1 的整数，那么[tex=5.143x1.357]mwQ7Ih5QP18i6GZ79PnU0ngk9Gql3SOmCEzIsQ3uQipFNPafIyGuxYKaCsCFTwcF[/tex]是一个无理数。

2022-06-19

利用艾森斯坦法，证明：若[tex=0.857x1.0]1pX++wa8b4CaednM2VVANQ==[/tex]，[tex=0.857x1.0]2T0fdlSZutPzGA1HapWNSg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.786x1.0]RUC1n2Afxn11T0/95f4NFQ==[/tex]是[tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex]个不相同的素数，而[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]是一个大于 1 的整数，那么[tex=5.143x1.357]mwQ7Ih5QP18i6GZ79PnU0ngk9Gql3SOmCEzIsQ3uQipFNPafIyGuxYKaCsCFTwcF[/tex]是一个无理数。

答案：

证 考虑多项式[tex=5.929x1.214]ZZbuSGxnbhH0ke6ZgZzONis8mZfbJiyYLzW68so5yD5X1YsovJCgSuXxrCrSx9wd[/tex]及素数[tex=0.857x1.0]VRr+U5tfxsVVXD6yFdYctQ==[/tex]，因[tex=0.857x1.0]1pX++wa8b4CaednM2VVANQ==[/tex]，[tex=0.857x1.0]2T0fdlSZutPzGA1HapWNSg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.786x1.0]RUC1n2Afxn11T0/95f4NFQ==[/tex]互不相同，多项式满足艾森斯坦判别法，[tex=5.929x1.214]+zuSAEg+lhJyZaWR9lFDVRarWdvcFX8PZO8f/h1MkKU=[/tex]在有理数域上不可约。因[tex=1.929x1.071]Y2qPmXR0zuLwaWmsUoVORw==[/tex]，[tex=5.929x1.214]+zuSAEg+lhJyZaWR9lFDVRarWdvcFX8PZO8f/h1MkKU=[/tex]没有有理根，而[tex=5.0x1.357]mwQ7Ih5QP18i6GZ79PnU0ngk9Gql3SOmCEzIsQ3uQippaRlMOCzIVSUx1lI51fA0[/tex]是它的一个实根，因而为无理数。

举一反三

内容

0
证明：前[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个自然数之和的个位数码不能是 2、4、7、9
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，且[tex=3.143x1.357]UJPO4W988N9GD+L2qw/VKw==[/tex]，证明：存在实[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]，使[tex=4.571x1.214]0/KaLJMUhPX6ftFvgZrv+0XmVzxZcEeSyap5HbYe7CM=[/tex]。
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]Gl8myqGBf3V5xKlLwXodGw==[/tex] 的特征多项式的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个复根的和等于 [tex=2.786x1.357]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQb0P7vZ4TEOJWYYit3gGoiM=[/tex] [tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex] 个复根的乘积等于 [tex=1.643x1.357]3GUtP1KRCaX9J7Wil+ASkA==[/tex]
3
证明：次数＞０且首项系数为１的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
4
设[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足[tex=2.714x1.214]rPRBSosCEth94R4jBBpQCQ==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为( ）。未知类型：{'options': ['0', '1', '[tex=1.286x1.143]AcbURnSUksMF5caOSz5CtQ==[/tex]', '0或1'], 'type': 102}