设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, [tex=1.786x1.071]3EnMD8Lp8z0S89GwFkoaOQ==[/tex], [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 求证: [tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中不可约[tex=4.357x1.143]+EH8QzD9cG76c5hDH0qOnjmzil6k0wpxhCtak0DVdUE=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中无根.

2022-06-19

设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, [tex=1.786x1.071]3EnMD8Lp8z0S89GwFkoaOQ==[/tex], [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 求证: [tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中不可约[tex=4.357x1.143]+EH8QzD9cG76c5hDH0qOnjmzil6k0wpxhCtak0DVdUE=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中无根.

答案：

[tex=1.571x1.286]P8dPdXuM+N5BcQCKjafGhmijRhsWsqI02Pmz/6Sy/Jc=[/tex]：若[tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中有根[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex], 则在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中有[tex=9.571x1.357]W60LrEat30Uq48/DERqm1ALahUb7n3FNCPFwF0BNq4s=[/tex], 即[tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中可约.[tex=1.571x1.286]3zxMmw2l7nIJg0W3hKnXNOY9dOf7w5YPMVp2yR24s20=[/tex]: 令[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]是[tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的某一扩域[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]中的一个根, 则在[tex=1.929x1.357]WPzFaKL8Q4nkKYSasSYbGQ==[/tex]中[tex=6.071x1.357]tRrGfEdzbUev6ia8LzHqU9CyD1kDSQ/rEElwFl3zN94=[/tex]. 若[tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中可约, 则[tex=3.0x1.429]UB/kPOXjLFNDkagLAkCM+Q==[/tex]是[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中的多项式, 其中[tex=4.071x1.214]jZ2j5a7IIyfezSq4idzbUg==[/tex]. 于是[tex=7.286x1.286]Iw5D7bj3LNUydpo7purKVPnkGr4OcTgVTSBD0Pjytu4=[/tex]. 故[tex=2.5x1.286]oyH8bNGRR1TBNKtUKGVmLw==[/tex], 即[tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中有根.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，证明：在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的一元多项式环[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，有带余除法。
1
设域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]不是完全域且[tex=4.286x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfeFJ1rfmgAh98WV2Rfi/BIM=[/tex]证明：[p=align:center][tex=8.0x1.5]8VpVp2U6VGixBpvDPO6wdFFdZ1Zh5NEQ2vbJpM7p7AI4fqr9DgYdhAg464wa/ehz[/tex]在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约的充要条件是，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是不是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中任何元素的[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]次幂.
2
设 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex] 是以数域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 为系数范围、 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 为字母的全体一元多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 组成的 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的线性空间. 求证:[tex=4.857x1.357]bivgtssQ+sS+7Fn1Z0yfg6T7tBGhaTZYR9UTmID1rAU=[/tex]
3
假设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是一个四个元素的域. 证明:(1) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征是 2 ;(2) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的不等于 0 和单位元的两个元都满足方程 [tex=3.929x1.357]n/e9mCKNm2GRMd1tVtaOAw==[/tex]
4
设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为[tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex]阶有限域，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次不可约多项式. 证明：[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]整除[tex=3.571x1.357]1Bl0boLIAs4rkF/1q1osRw==[/tex].