设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是实系数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式，其中[tex=2.5x1.143]K+Swr2cA+8b62T1YU7nuOw==[/tex]。证明：如果[tex=3.429x1.357]5W4xTQrlz2YsNIZZqereQA==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有偶数对虚根；如果[tex=3.929x1.357]vxzECGGRprE9ImOPQXowww==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有奇数对虚根。

2022-05-27

设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是实系数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式，其中[tex=2.5x1.143]K+Swr2cA+8b62T1YU7nuOw==[/tex]。证明：如果[tex=3.429x1.357]5W4xTQrlz2YsNIZZqereQA==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有偶数对虚根；如果[tex=3.929x1.357]vxzECGGRprE9ImOPQXowww==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有奇数对虚根。

答案：

解：由于[tex=4.0x1.286]G1tHgXqrU9UWWKSBESfKKPEEDr5gEWuuPhC9Hfp9Rvo=[/tex]，因此[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根，设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个复根为[tex=0.786x1.0]HMb7N8oYwmgeJ18BzKpUYg==[/tex]，[tex=0.786x1.071]QoN7DtVvHvxpb8xzmXuF8Q==[/tex]，[tex=0.786x1.0]etIZObyekuI8ISZCPXFT8g==[/tex]，[tex=0.786x1.071]I2CZkTT2coI91xVsrTgMXg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.643x1.0]6r+RpdYD2oHNP6V10a1Ruw==[/tex]，[tex=0.643x1.071]0MK72jcTVpmPjMuaggUOMQ==[/tex]，[tex=1.929x1.0]Ii4tepdtb/3rCFD4r19MUg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.857x1.0]1gCH+z12UmntunT5I42IjQ==[/tex]，其中[tex=0.786x1.0]HMb7N8oYwmgeJ18BzKpUYg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.643x1.0]6r+RpdYD2oHNP6V10a1Ruw==[/tex]为虚数，[tex=1.929x1.0]Ii4tepdtb/3rCFD4r19MUg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.857x1.0]1gCH+z12UmntunT5I42IjQ==[/tex]为实数。[tex=9.429x2.857]eqhmuWFXPx37aTY1lprTkVV5R1uyDc0cUAztzrY/Q2LEcohJpnA9ab5kBzU7/w0g05AX5XI5809zpXe7ovCqCTN+1RRH0rFIrKWwPYdneL0=[/tex]。若[tex=4.643x1.214]rWlWmFVHH1MUXcr2JH5l7e1OnqZ+z88f0s29PwUT+qE=[/tex]，则[tex=4.786x1.571]/sRkPGASrHt0s+AhomPUzDTTwbANg+M0E00xEg44BDGq0dfNFVp93DloTYoYHUUG[/tex]。若[tex=1.429x1.143]gNjJmAz1MqSJ1RIH+SfRkw==[/tex]，[tex=3.857x1.214]kT/+Co3lwUYU/J0/Q68+5ZRYSdqLo1O9A0yGzft+qGk=[/tex]，则 [tex=2.214x1.214]Ik0GZyuOJLJRARKiMFtNdw==[/tex]与[tex=2.214x1.214]UgD1QPeOxKuIeGmxq524L43pM2MOkiFBSiGjdbJwGl8=[/tex]是共轭复数, 从而[tex=10.357x1.571]/sRkPGASrHt0s+AhomPUzA5yibBZNjA2rCpvx+dUWpjE8zLIURsN4MQy4Qdt8m88sGuHKL9e3p/KHselg6PqjZbm+CfjqefKvPnGI1wAONQlUM1aVFmGtpa8htQ/RJuI[/tex]。于是[tex=8.286x1.571]i+/kUrJ0ewelP08qHBkmsgO+kzJpO2/pL2c0kqVe0YMqPdzBEznqMmBZXVoUQrPJN96a9Q5NDbhs2Q+ui5EpoHCNdobjW9i4fiqAiygVOjQ=[/tex]。若[tex=2.286x1.214]IV5owm4uem5jzkRbwfa819N8AEec0oSvrQ//WbyXS3c=[/tex]，则[tex=2.214x1.214]Ik0GZyuOJLJRARKiMFtNdw==[/tex]与[tex=2.214x1.214]dj0pMZvE51OSIOyk9kyS5vR+9aWRpXDbZNPLqYgbY+c=[/tex]是共轭复数，[tex=2.214x1.214]A1StnADaylc8f4AhKzTqyrgRovuvQLQ6CU7t79aT2ak=[/tex]与[tex=2.214x1.214]sG1XfMX5vZrIbeUTA6xlLvy3egGURqZ9d+k8nVrJurI=[/tex]是共轭复数，从而[tex=19.857x1.571]i+/kUrJ0ewelP08qHBkmss7VafhMXh/22TE0O7JtUQ4vw0tRr4G9KTEN3k5sx4T2LrMAPfirM5BHAb6l9HrXMzxAGuXuPbIuBEoalpGUzNtML3GFmA4/ZZ3HUDGBTnMV/Jbb6yMF/QLQSvUzLpojMWbdC5b8OeNYelXMe3KS3CUqnO74ZFCwa9K60ANdV5mGsLNFCIDVhusB6VIX/SCDzz3IAIbTUmlTP8vtYv4jbSFQcRGWFclLcIorHgv6AXLH[/tex]，于是，[tex=15.357x1.571]i+/kUrJ0ewelP08qHBkmsgO+kzJpO2/pL2c0kqVe0YNStjsucWQO86hdh5CnAHHNF7ViHBffxvtty70obbbSGu506nc/UuSQFJy6whc9LQmklFssEbzZ/IVLaFT92kUKr5IoSCI8nVva5Akfhh8r2v1G4ShA1qdOhBbvLyXdEg7cjU16KadCX7hjpYgD8gE3[/tex]。又有[tex=2.143x1.143]sG1XfMX5vZrIbeUTA6xlLnun/QYIuSn1eptB2RTlSNs=[/tex]是纯虚数, 从而[tex=5.143x1.571]74goyxx7AweTRnSMk4GeqgT8lvs7JtsXf00DBSEd5YO3rEXKdtQflo/Q4yydENyZ[/tex]。综上述所得，若[tex=3.429x1.357]5W4xTQrlz2YsNIZZqereQA==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的有偶数对共轭虚根；若[tex=3.929x1.357]vxzECGGRprE9ImOPQXowww==[/tex]，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]有奇数对共轭虚根。

举一反三

内容

0
证明：次数＞０且首项系数为１的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
1
[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]称为[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原多项式, 如果[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的某一根[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]是域[tex=2.357x1.357]0VK3/N/fLOoUyml49ohHEw==[/tex]的乘法循环群的生成元.求出[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]在 4 元域上的极小多项式.
2
证明如果函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]和[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]使得[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.143x1.357]ZuRtT8Wk+WJPrIgEMh/UFQ==[/tex]的，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.429x1.357]pweQz6vYdJSfN1APBJuJ8Q==[/tex]的。
3
证明：数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 次[tex=3.214x1.357]gJkFLWVH5zNk75r8/evhfA==[/tex]多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]能被它的导数f(x)整除的充要条件是[tex=7.214x1.357]lmeBkU8/ruK6t5RxRgcerg==[/tex]，其中[tex=3.286x1.214]oeWZ4kdc5N+8h2+UwE9GFw==[/tex].
4
证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].