• 2022-06-18
    证明:若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.
  • 由假设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中元的阶均为有限,否则,[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有同构于[tex=0.714x1.0]gZBfT6myLn+98pjbkMFQRQ==[/tex]的子群,而[tex=0.714x1.0]gZBfT6myLn+98pjbkMFQRQ==[/tex]有无限个子群[tex=1.286x1.0]hpMVUkdEPaTKpR6HmlCV4g==[/tex].由假设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个循环子群.另一方面,[tex=4.429x2.786]7HmoxUkMUUyniEIkUhEuLSEzzs5YQKcR3ukGSH6PWHJTkPLBwrtU9/4l4Oyyr9uu[/tex].所以存在有限个元[tex=4.286x1.0]RYz23RkBzVuPmS2Tm6+XEjvs4z1Q4OZUp3lpPDKbDcA=[/tex],使得[tex=5.571x2.786]ksNNV6aM5+ctLahiF9S/qMdQ5bIZUQ015mnsMzAzKcHP4X2uGaAPb2kXfHzScPTdBHYerLo+QSO2xX6OaaDfk6CarmMgmbvigpSttown3kU=[/tex];而每个[tex=1.571x1.357]XV2nUy3dLMVuVIXZcl3mJeG6Wd9U1SP7WekgANbTr6A=[/tex]均为有限群,从而[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.

    举一反三

    内容

    • 0

      设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有有限个子群,证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必为有限群。

    • 1

      设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是包含在群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的中心内的一个子群. 证明 : 当[tex=2.143x1.357]AgjHffxzQb9fKjeZTf8lUg==[/tex]是循环群时,[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是交换群.

    • 2

      试证:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的指数为2的子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群.

    • 3

      设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限生成的自由 Abel 群, [tex=5.0x1.357]k8PvTJe4iQVkvPfhUhxDGDsJVg6JIxgrJm26YhWlnag=[/tex]. 如果[tex=4.214x1.0]7Noj8sUXUGG6RgUkNTO6h50RlX8j8e50bLwCa2QOL+c=[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一组生成元, 则[tex=2.429x1.071]47ZA+1RRmE9Gl0yWOQZ9HQ==[/tex].

    • 4

      群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非平凡子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]称为[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极小子群, 如果不存在子群[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]使得[tex=4.786x1.143]Dzl5s9mAcKaJyOhW6nnalZl2sR7LSXZSzGUFcgLlF5E=[/tex]. 试证: 有理数加法群[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]既没有极小子群也没有极大子群.