设曲线[tex=2.786x1.286]Xv1ex0v791LL5e/JRFQi6g==[/tex]与它两条互相垂直的切线所围平面图形的面积为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]，其中一条切线与曲线相切于点[tex=3.571x1.286]BXWVpLQ/8nY3kqb6AfsT/x1OITa6r3p40sq7uN+C2k0=[/tex]，[tex=2.357x1.286]t1pHPvJ7AlZl1FT6fv2UoA==[/tex]试证：当[tex=2.5x2.0]dclmPVA0t5ArbAxa1vrskNy1Ri52hM2WPffpnqxBZbA=[/tex]时，面积[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]最小。

2022-06-17

设曲线[tex=2.786x1.286]Xv1ex0v791LL5e/JRFQi6g==[/tex]与它两条互相垂直的切线所围平面图形的面积为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]，其中一条切线与曲线相切于点[tex=3.571x1.286]BXWVpLQ/8nY3kqb6AfsT/x1OITa6r3p40sq7uN+C2k0=[/tex]，[tex=2.357x1.286]t1pHPvJ7AlZl1FT6fv2UoA==[/tex]试证：当[tex=2.5x2.0]dclmPVA0t5ArbAxa1vrskNy1Ri52hM2WPffpnqxBZbA=[/tex]时，面积[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]最小。

答案：

设另一切线的切点为[tex=3.429x1.286]3hS3n35rmexFab9z7e9x80ODvZJRLoEKvoPwiUZuC1A=[/tex]，则因[tex=3.143x1.286]SOFenrZAO8ux968fMBQzoDJxHI/4BukoYl2NNN3s5tg=[/tex]，故此两切线的方程分别为[tex=7.929x1.286]aBpwIsGYmTTrMIcdbNFyH7uaVMafUfq9K+gxTqbWFr4=[/tex]，[tex=7.643x1.286]BStsk5ZJ1fBkXRKPKKTaJ4y/4QpUtsOznzneuSx9qr8=[/tex]，由于此两切线互相垂直，故有[tex=5.143x1.286]UfFqR9ENl4jOwoO4U0xUF1QcGLUuO9/9fIRJNyXUVcQ=[/tex]，即[tex=3.643x2.0]f3f4ITyxRYvpOfJDyRhEzDUDyAkxIS8V6JXC7fRvvAE=[/tex]，解方程组[tex=8.5x3.357]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz3O9p7LEFn2EBsF/zt7LksfOB0sgXf8ed7ezCGTahUOPpJZMUrkqoZtBcCaTsAClTSDmyHLZlG2us6MmZfBpTWQVpQ+oyWfK6qPvXCm5pYVL[/tex]，得两切线的交点为[tex=5.929x2.357]Ql3MQTzYNzw52MuQx2AfnQQuph7+Ey02jCbWNUs1+fxvwuf0rOYAwu415EtnkvtP[/tex]，因此，曲线[tex=2.786x1.286]Xv1ex0v791LL5e/JRFQi6g==[/tex]与此两切线所围平面图形的面积为[tex=13.143x2.643]cO+h7PjPWuB5pJWG7Yt+qu2dqO1iohQh1QyRBVU+58UwIlDILVOnHLRHBLHYngeUfJzft9hlLKXOL4d1URFxzVAy54K7NH71VioMywmz53anJLv/Xc1o+GbkNMV9m6DE[/tex][tex=11.929x2.5]P9+hW4FS8yPmgZjAFqWsiQUY5ZTbfW9u5togKiSWviYw3INjl00ep7f8EFsaT0MvGO8jTBkjR8vOjZ1UbSeEL8yRDbFvG/GmQq5UOFjE3qEL2B/yJe+LMqJOLmo09jMg[/tex][tex=7.857x2.643]+eJL8PuO0Bo8oHVqlkZ4XL69iTiBijbn1Ex2xUGHHRVOInMxDu9kTkhTu0NmbjnI[/tex][tex=8.5x2.5]P9+hW4FS8yPmgZjAFqWsifhtg/UQeMVW0IA25hJrrUcyuMr+d0p+3k5MOnMZt70UUeuJWX81+7xAxpVImg8KLA==[/tex][tex=11.0x2.571]TbSHLa6D4gj5hxMwZfOINNOLiAJd5GryEHqr/h1der5ho1Z1sQjn1crMT0ftpyU9eSQBQMmRyIfwl+WSpqWreI519ocrlK9nuDtKf/WWLuU=[/tex]，因[tex=2.357x1.286]t1pHPvJ7AlZl1FT6fv2UoA==[/tex]，故当[tex=2.857x2.0]yiY0fBwcIax4uTSWomfLK1Z5jR9TmEeArQT88w1X51U=[/tex]取最小值时，[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]也取最小值，为此，令[tex=6.071x2.0]N0be+3noQv6jnOO4o37iKVTSZT3nNZ6IAsibqAwCgqU=[/tex]，于是[tex=6.786x2.0]ifY8Z2pdBY3xmLR1Mq74Odz3pSdSF6z0Y69U22+snSrCQA8MrTJqrUBYXjloFCLs[/tex]，[tex=7.143x2.0]ifY8Z2pdBY3xmLR1Mq74OYeVuIhK8wAcEROYssbaoXps5wxR3n25f91Coh7clPb8uXjWPsF35O0WoatsVjLaag==[/tex]，且当[tex=4.0x1.286]ifY8Z2pdBY3xmLR1Mq74OcgViPXq7JyD4bCVIjJfcqU=[/tex]时有[tex=2.5x2.0]dclmPVA0t5ArbAxa1vrskNy1Ri52hM2WPffpnqxBZbA=[/tex]，所以[tex=2.5x2.0]dclmPVA0t5ArbAxa1vrskNy1Ri52hM2WPffpnqxBZbA=[/tex]是[tex=1.857x1.286]m9Bts1klkZslLb8tzPXcTg==[/tex]的极小值点，并因[tex=2.357x1.286]t1pHPvJ7AlZl1FT6fv2UoA==[/tex]时，[tex=1.857x1.286]m9Bts1klkZslLb8tzPXcTg==[/tex]仅有一个极小值点[tex=2.5x2.0]dclmPVA0t5ArbAxa1vrskNy1Ri52hM2WPffpnqxBZbA=[/tex]，故[tex=1.857x1.286]m9Bts1klkZslLb8tzPXcTg==[/tex]在[tex=2.5x2.0]dclmPVA0t5ArbAxa1vrskNy1Ri52hM2WPffpnqxBZbA=[/tex]时取得最小值。[img=318x310]17838fb4d68a847.png[/img]

举一反三

内容

0
在曲线[tex=2.786x1.286]Xv1ex0v791LL5e/JRFQi6g==[/tex][tex=3.071x1.286]pl3k1MQDU8orGzTuABqYLJgVzKz7gyXj/NymwRGPF9U=[/tex]上一点[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]处作切线，使得切线、曲线及[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]轴围成的面积为[tex=0.714x2.0]4zbOnagufiP9A9SEx1irp2aj2tHhDhbc3DOVA6StjIU=[/tex]。求（1）切点[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]的坐标；（2）过切点[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]的切线方程；（3）上述平面图形绕[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]轴旋转一周得到的旋转体体积。
1
求曲线[tex=2.786x1.286]Xv1ex0v791LL5e/JRFQi6g==[/tex]、[tex=3.286x1.286]eHr/fAtcSnbalStgTPLXPg==[/tex]及直线[tex=2.286x1.286]00XlJXnsFPYY5douG8n+zA==[/tex]所围图形的面积。
2
求曲线[tex=5.071x1.286]uH0Myz592IvDLRRWY7nUH4MdxgVGFeIMcf3vmZIDQgs=[/tex]，[tex=2.357x1.286]+lfyPLkaB2aZzha73p3Bvg==[/tex]，[tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]，[tex=2.357x1.286]+1uQITH0WA9VdOa9Vpywhg==[/tex]所围成的平面图形的面积[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]，并求该平面图形绕[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴旋转一周所得旋转体的体积[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]。
3
利用二重积分计算直线[tex=2.357x1.286]NnMv/nzON7uI2yXeeL/30w==[/tex]，[tex=2.857x1.286]6Sk77R0/78fhopXGGf1ZzQ==[/tex]，[tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]所围成图形的面积[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]。
4
设曲线[tex=2.786x1.286]FRaQ+fSYmTey/VRrz/cA2g==[/tex]（1）求曲线上点[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]点处的切线与直线[tex=4.571x1.286]mCIddwK8TgrSbqK/SlosUw==[/tex]平行；（2）求曲线上点[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，使[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]点处的切线与直线[tex=6.714x1.286]7qTFs7Q16C/1zRCCqYHS9Q==[/tex]垂直。