求下列无穷限积分$\int_{0}^{+\infty} x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d} x$.[br][/br]
举一反三
- 二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度函数为 $f(x,y)$ 满足的性质有（ ）. A: $f(x,y)\ge 0$ B: $\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}f(x,y)\mathrm d x\mathrm d y=\displaystyle\frac{1}{2}$ C: $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\mathrm d x\mathrm d y=1$ D: $\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}f(x,y)\mathrm d x\mathrm d y=1$
- 连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$ ，则 $X$ 的取值落在区间 $(a,b]$ 上的概率 $P\{a A: $\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm d x$ B: $\int_{-\infty}^b f(x)\mathrm d x$ C: $\int_{a}^b f(x)\mathrm d x$ D: $\int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm d x$
- 二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 、密度函数 $f(x,y)$ 及概率之间的关系正确的有（ ）. A: $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ B: $F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(s,t)\mathrm d s\mathrm d t$ C: $F(x,y)=\int_x^{+\infty}\int_y^{+\infty}f(s,t)\mathrm d s\mathrm d t$ D: $P\{(x,y)\in D\}=\displaystyle\iint_D f(x,y)\mathrm d x\mathrm d y$
- 连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ 与 密度函数 $f(x)$ 之间的关系为，对任意实数 $x$ 有 $F(x)=P\{X\le x\}=$( ）. A: $0$ B: $1$ C: $\int^{x}_{-\infty}f(t)\mathrm{d} t$ D: $\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\mathrm{d} t$
- 设 $X$ 为连续型随机变量，其概率密度为 $f(x)$，则数学期望 $E(X)=$（ ）. A: $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ B: $\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ C: $\int_{-\infty}^{x}f(x)dx$ D: $\int_{-\infty}^{x}xf(x)dx$