证明对称阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定的充要条件是：存在可逆矩阵 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex]，使 [tex=3.5x1.214]IhKcrEYiWSG5ZMdbjEWk0g==[/tex]，即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与单位阵 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 合同 .
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl/jgx7HDqG8OMKcZZrhVcXy6+JovSSXitpjCbh6SDQEN[/tex](2) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl8wUbDZMgCOnJA1lQifZKR+Dh2C+JkyFhRzqn66dyW91[/tex]
- 若[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足[tex=4.286x1.357]M8pBlvV+S4LQnhAnSAKoXw/P7X8DAabMY3TupXqT7NSjfT7K5RGfXHWdaekRkXAfTKkpTigD5xQ3xzNaahKuWQ==[/tex]，称[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正规阵，证明：[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正规阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与对角阵酉相似。
- 设 4 阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足条件[tex=13.429x1.571]pNXwj7dxoGbcprO3/HATinbMcrt8sC5y1uPd3TRH6ssCiv8WtIXVXb9cSHXuJP20[/tex], 其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为 4 阶单位矩阵，求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有一个特征值。
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是可逆阵. 证明:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值一定不为 0
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵，证明 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正交阵的充要条件是 [tex=1.143x1.071]dlHppezehhhJt6WmQH9aoA==[/tex] 为正交阵.