设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]可对角化，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.071]Z+TPszFO7LPa8KJ9E9RUwQ==[/tex]也可对角化。

2022-06-16

设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]可对角化，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.071]Z+TPszFO7LPa8KJ9E9RUwQ==[/tex]也可对角化。

答案：

证明：若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]可对角化，则[tex=2.929x1.0]Wl600p/AZoPkP05KJE1whQ==[/tex]，其中[tex=10.143x1.357]tvK2j45brKxHSVLfyOxaeI5coexHVNQtRvyY0sDZYaZRGdgsiCVQJiFdj9FJTfkpBknamhFq/IPUYy8IDU/2VQ5n+EyjwB2l0oqHXZ4IFVjpt+XxP//6SpKNNIxrL3VG[/tex]。且[tex=3.714x1.071]IfgQtpOADuDuwKkbGY18mw==[/tex],直接计算可得[tex=23.571x5.357]eipYSjyyoCpgLf6yTFjx+VI1CjluTnkyGoz1Zq6e3aBTzFaELcTgPEHDxex+Yj+kuZbTQOyqL6/H+BD6xb8Oo48yjbvnIVIL2PqfbfAraQ2LyZUiNwyXdVOZwANwThnVOWHJ1VUOHPxY3VFbt1n4MvWaVftkqrt/te7S44To9898ZukQD7+Rd2Xqhzo+orCTurrkkO4WLeNtGRA64W0pZvnoXB82GjnKE6kyrhekmeHEvmvqI3Vh5fDPeAyTWZorUwl3ygV+OXm7YkAvEYRBkGYsUlbksHoz+7bqcKjm9ITywAcO47zjWIRgVb2+DWat9Tc3XrlCVCGlLdOexQUkRtYM/2od5vuqQWceRAp295Y=[/tex].因此[tex=1.143x1.071]Z+TPszFO7LPa8KJ9E9RUwQ==[/tex]可对角化。

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵。证明：如果[tex=1.429x1.0]id8CqLD3sKgZOEL0mYn1xA==[/tex]中任意非零列向量都是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征向量，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]一定是数量矩阵。
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，[tex=5.357x1.214]0FbTjvkZ+c2o52PxjJD2Wld/F7Un6vh0QdjWNakkuPaAnAGbx7iv+u9RZJebrxCx[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征多项式在复数域中的全部根，求[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.071]Z+TPszFO7LPa8KJ9E9RUwQ==[/tex]的特征多项式在复数域中的全部根。
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证明：如果数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为0，那么存在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上主对角元全为1的上三角矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与主对角元全不为0的对角矩阵[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]，使得[tex=4.214x1.143]gdq/daeB4gLJDSyW2xB5BRk/ecdE1RWzda9qZg0tjoU=[/tex]；并且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的这种分解式是唯一的。
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证明：如果数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]满足[tex=6.643x1.429]oCpvLyGD8hllYcsM3cYSLWtvPKGckJqIibvm40exWHI=[/tex]，那么[tex=3.857x1.357]/ErxrDUA0p2I1qrW8TNM9Q==[/tex].
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵，证明：如果[tex=3.429x1.357]KfxiXgR+wZCad+SOlQefBQ==[/tex]，那么-1是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]得一个特征值。