举一反三
- 设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是有限域, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 有一个同构于 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的素子域 [tex=1.143x1.0]RJKRNsUdTBDg78oiJ8PTTA==[/tex] 从而 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的有限维向量空间. 由此证明: 存在正整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 使得 [tex=3.214x1.357]rNRxYHjQdO7YkZT6AAmseg==[/tex]
- 设 [tex=2.571x1.214]KV1JYLtWo7PgXKV96f5fCg==[/tex] 是域 [tex=2.5x1.214]kigtu05vD/ZkLtOPJs7q7u0YEIuaSx4BVWI/2dSy16g=[/tex] 上的向量空间. 证明: [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 可以表为 3 个真子空间的并.
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上一个线性空间. 证明: 若 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是有限维的, 则 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的任一子空间都是某些线性函数的零化子空间.
- 设[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]是一个向量空间，且[tex=3.429x1.357]z5i0UnrkSFEMYRY3fz3n5A==[/tex]。证明：[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]不可能表成它的两个真子空间的并集。
- 设 [tex=6.0x1.214]aJ6ilKOMd+Qhji0Ydv6BLEeRQkFLrcudDhs9wTevVVY=[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上向量空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 个真子空间,证明:[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中必有一组基, 使得其中每个基向量都不在诸 [tex=0.857x1.214]cwRVu8HBwDHmaiBxi9Ne3Q==[/tex] 的并中.
内容
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设[tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW4Lv5aXy2IYDr1d8cyMxju8=[/tex]都是域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]维线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的真子空间，证明：如果域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征为0，那么可以找到[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的一个基，使得其中每个向量都不在[tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW4Lv5aXy2IYDr1d8cyMxju8=[/tex]中。
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设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域. 证明：乘群[tex=1.214x1.071]plYiOGqsi2x51lvGPTzTvw==[/tex]为循环群[tex=2.857x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRxzZ3TaC6dhfBvZcqVmvDO2M=[/tex]是有限域.
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求证: 域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是有限域当且仅当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的乘法群[tex=1.214x1.071]6fYgj+1cuIkoM1Z53YlA3Q==[/tex]是循环群.
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设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为[tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex]阶有限域，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次不可约多项式. 证明：[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]整除[tex=3.571x1.357]1Bl0boLIAs4rkF/1q1osRw==[/tex].
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令[tex=3.857x1.357]TC8iySBI76q8j/ExOdYpjA==[/tex]是域. 证明：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上多项式[tex=5.0x1.357]3HE/PBJzKz2DL2j0B7A9JS5FYZ4lXVBgrcb9WioyXCc=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约，但在其分裂域中有重根.