[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是集合[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]上的二元关系。对于所有的[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]、[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]、[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex][tex=1.429x1.071]JKzFuDkw4uDSbAJpO4itXw==[/tex]，如果[tex=1.786x1.0]6EK6Izru+O8tcQzdTzeouA==[/tex]，[tex=1.643x1.286]sD2I2onCkUOMNhOU9iKq6Q==[/tex]，则[tex=1.786x1.0]KUv3qryIM5pVm6APGV8uaA==[/tex]，那么称[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是循环关系。试证明[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是自反和循环的当且仅当[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一等价关系。

2022-06-07

[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是集合[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]上的二元关系。对于所有的[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]、[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]、[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex][tex=1.429x1.071]JKzFuDkw4uDSbAJpO4itXw==[/tex]，如果[tex=1.786x1.0]6EK6Izru+O8tcQzdTzeouA==[/tex]，[tex=1.643x1.286]sD2I2onCkUOMNhOU9iKq6Q==[/tex]，则[tex=1.786x1.0]KUv3qryIM5pVm6APGV8uaA==[/tex]，那么称[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是循环关系。试证明[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是自反和循环的当且仅当[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一等价关系。

答案：

证明：必要性。 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是自反的和循环的，则[tex=4.286x1.214]e2yBtIn6d2KfdkyudfxUNE3F7yKqWokhdVsSkvd0i0s=[/tex]，若[tex=1.786x1.0]6EK6Izru+O8tcQzdTzeouA==[/tex]，因为[tex=1.857x1.0]YNXAroqRoCC9WlyToCxuvg==[/tex]，所以由[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的循环性知[tex=1.786x1.0]VCyVp+cg8jrsOaS8fYSLQw==[/tex]，因而[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是对称的。又若[tex=1.786x1.0]6EK6Izru+O8tcQzdTzeouA==[/tex]，[tex=1.643x1.286]sD2I2onCkUOMNhOU9iKq6Q==[/tex]，则[tex=1.786x1.0]KUv3qryIM5pVm6APGV8uaA==[/tex]，又由已证得的对称性知[tex=1.786x1.0]3iUEhBXpfPZ9OkBbw7xB9A==[/tex]，因而[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是传递的，所以[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一等价关系。充分性。设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是等价关系。因而[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是自反的。若[tex=1.786x1.0]6EK6Izru+O8tcQzdTzeouA==[/tex]，[tex=1.643x1.286]sD2I2onCkUOMNhOU9iKq6Q==[/tex]，由[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的传递性知: [tex=1.786x1.0]3iUEhBXpfPZ9OkBbw7xB9A==[/tex]，又由[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是对称的，因此[tex=1.786x1.0]KUv3qryIM5pVm6APGV8uaA==[/tex]，因此[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是循环关系且是自反的。

举一反三

内容

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如果环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]同[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中每个元素可换,则称[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]为环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个中心元素 R 的所有中心元素作成的集合叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心. 证明:除环的中心是一个域.[br][/br]
1
[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是包含了前1000个正整数的集合[tex=8.429x1.357]v/lyVMxWuTaTTJreRHlH3YVIwdLHqfQv7/BAiOC6nu4=[/tex]上的关系，如果[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]满足下述条件，那么表示[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的矩阵中有多少个非0的元素?[tex=8.571x1.357]3/2w3StMijBEnZAthvP4PtkJpqUxNTutyEAtJ69hOEE=[/tex]
2
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是定义在世界上所有人的集合上的关系，如果[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]认识[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，那么[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]包含[tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex]。[tex=1.286x1.0]bU7nOjTYPl7Tj9kxzm49Kw==[/tex]是什么?其中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是大于1的正整数。[tex=1.214x1.071]64dZj+nF6zmzgKzn//8eAw==[/tex]是什么?
3
[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是包含了前100个正整数的集合[tex=7.929x1.357]v/lyVMxWuTaTTJreRHlH3eJT94hE70whRbe0m9co6+8=[/tex]上的关系，如果[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]满足下述条件，那么表示[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的矩阵中有多少个非0的元素?[tex=7.071x1.357]Ja6t9qI1SHmShhgXr/OoT4j0iVVkuyrbnyy+009RRk0=[/tex]
4
[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是包含了前100个正整数的集合[tex=7.929x1.357]v/lyVMxWuTaTTJreRHlH3eJT94hE70whRbe0m9co6+8=[/tex]上的关系，如果[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]满足下述条件，那么表示[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的矩阵中有多少个非0的元素?[tex=5.857x1.357]Ja6t9qI1SHmShhgXr/OoT+tIlBtL8nPxGJuywvCg5YU=[/tex]