设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：左[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的自同态环[tex=3.429x1.214]AMahXgRvckOkvLGOzTTBuAZ2VkgS1nNjQqm8M+IVxGI=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]反同构。

2022-05-27

设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：左[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的自同态环[tex=3.429x1.214]AMahXgRvckOkvLGOzTTBuAZ2VkgS1nNjQqm8M+IVxGI=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]反同构。

答案：

证明：设[tex=5.714x1.214]Q0+VpUTeTfiLosGpMDSt6EU/TFO7K+Pe56yCxtiKCpC3Tlm1U6K11EK3a3SJW8e+[/tex]，[tex=3.714x1.357]vjH04rNiGupuDSHgGeNCleerGfMkXzV29RYQ+LYQD8I=[/tex]，[tex=5.143x1.357]j46MrLToptyPVaXxULp6t4yas0TSooElBSom/FI7cgM=[/tex]， 又设 [tex=1.857x1.071]H3mbYLdkBs7RcNzQtFHg/A==[/tex]，于是有[tex=10.357x1.357]5lNfBHQCVxbqxQqM5dF+x/p/sLoNgS40DXwtst8haE5jisJ2pOU9699GmHnJCRr/ZX8A5Zqz0Z70DjxovKaOsA==[/tex]，[tex=10.357x1.357]7leDobM4YxbTeeXBNjIWhIPGvkHFb0aUlwi3E/9onipnqE2W421L2KCDhaM3aETE[/tex]，[tex=15.857x1.357]le5gFDBu/ipIMArWYqCVY8/+AItOV69Y/uNoqZ2dNJCdv6SbMCTPpDGKC61QZwtoNL3nDwkhxmHfbOJkfm5fBFN9ba00Fwf6vTqpcYKio5o=[/tex]，[tex=11.929x1.357]+Ak5zK9UCRluJ9oNTZrVaTQdsU3QGTiu7mQGVlGOvkuUZGvf/VTHVXqznbJgCkSVwgeKiEkzg53/F+nzOAoTgFC9s7JFjqUxq7pWgrmIW4lvqKA/sPJRQQoQEvrpFYRp[/tex]，因此[tex=5.929x1.357]eua7HwXWWXxG1gHnIx+vuWg+bbfmzqVr+B9EfbYvkZlcLThyPeQYTUAuuYC1fDk/[/tex]是[tex=3.429x1.214]AMahXgRvckOkvLGOzTTBuAZ2VkgS1nNjQqm8M+IVxGI=[/tex]到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一一的反同态。又[tex=2.571x1.071]C/U6swDOKzNEB37J11MOysevRXVaBQP8dCmH5Xf/49g=[/tex]，定义[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的映射[tex=1.143x1.214]oauPaQDMonxnKV8EVmaEoA==[/tex]：[tex=4.071x1.357]HxF3AJR8IIAD0eYIbJx4NA==[/tex]，[tex=3.429x1.071]MUrUbl3JKUV2x2GeVbJpDYwwC4oHK34UgDLImhH1c2k=[/tex]。直接验证[tex=5.214x1.214]Bblz5zMuvk2TQZANRJm1/cnyTaiJ+IWbSHK7pFEmQZXDgspI9wlHlk36yNSLzUs6[/tex]，且[tex=3.714x1.357]YboATfoU09YAW17BUWgGyQ==[/tex] ，于是[tex=3.429x1.214]AMahXgRvckOkvLGOzTTBuAZ2VkgS1nNjQqm8M+IVxGI=[/tex]与[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]反同构。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有単位元1[tex=2.214x1.286]LdfxmbZO/dkwxLsA+hGMZA==[/tex]的环，证明：[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的可逆元不可能是零因子。
1
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]和[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]均为含幺环, [tex=4.929x1.286]i/qcPsD1vRQLSn0RZoXrsgLjKM36B3W2jm4OmIlwfLk=[/tex]为环的满同态. 则[tex=4.357x1.357]0MeSHITGwH3ynUj9KdJsC+nZLrBHEPG0LGFtYnVMB/0=[/tex].
2
求证:(1) 若[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是主理想整环, 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的每个同态像也是主理想整环.(2) [tex=8.357x1.357]C3Weq6HRVeot5NeVvWaOX/dsxiuHRe8nl60JZDCW+mk=[/tex]是主理想整环.
3
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=6.714x1.357]Bis8/eY8aphbE2JEKHudIA==[/tex]分别为环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的左、右理想.[br][/br]
4
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]上的二元关系，如果[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是传递的和反自反的，称[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是拟序关系。证明: a) 如果[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]上的拟序关系，则[tex=5.643x1.357]JLAL17dohoLDbWIoPsBl3fM4mRl39sABlSy8A+06Kcc=[/tex]是偏序关系。