设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵或半负定阵的充要条件是对任一满足 [tex=3.571x1.143]llbZOzaSxsy88gIN6zZS7cPCLJ3lBdtgbQucP4Fp0+A=[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维实列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex], 均有 [tex=3.0x1.0]csywNAQgCnO/YRNTVQy1WQ==[/tex]

2022-06-07

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵或半负定阵的充要条件是对任一满足 [tex=3.571x1.143]llbZOzaSxsy88gIN6zZS7cPCLJ3lBdtgbQucP4Fp0+A=[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维实列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex], 均有 [tex=3.0x1.0]csywNAQgCnO/YRNTVQy1WQ==[/tex]

答案：

证明 先证必要性. 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定阵, 则存在实矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使得 [tex=3.286x1.143]Ys46PWl0/Kt6EeuPQmIYUVrqckiP2yTAu4+gPWxyAI8=[/tex], 从而 [tex=12.857x1.429]+snfN8KBTr6csjK9f1YZ3UT+AKCvGzMVNfT4H1RsNiAV/8oDly+vWriw67Z0iMEZ+xFbPu7ve8Ful3us1M40g6+ccuwBtWX1Isq5UHBK30S0vDWlgQiXSk+5Rm7smHXuAvbKKKHSnHzC7Hk69WmaLA==[/tex]于是 [tex=2.643x1.0]QV0+GsRP8bzyYfl08x9wIg==[/tex], 因此 [tex=6.929x1.429]aBZI8eeBMht2CPhObvgjAR4BAj+7RX7byKl8xp75Y0V0kMF8XlyGY+iK5QrIxwGy[/tex] 同理可证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半负定阵的情形. 再证充分性. 用反证法, 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 既不是半正定阵, 也不是半负定阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的正惯性指数 [tex=2.357x1.214]vlyQkjBiFCEd/t2QYNEcjQ==[/tex], 负惯性指数 [tex=2.571x1.214]1S3DCXGWhShIn1wGmIcAVw==[/tex] 设 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是非异实矩阵, 使得 [tex=11.643x1.429]GDfgC0ktykiy1RHJhgNSwiW9jvjSHakigVl7dyoyDBy00aQV4wE6wHm7fAmvkPIRNza/V9ORGwOrrMldwYuy6mX8Iq61dP8172JZGe3feKs=[/tex] 为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的合同标准型. 令 [tex=5.357x1.286]G+HlXEDRnQatYhszjXjaNVuil8lFmylfCWTitVr/QRU=[/tex], 其他 [tex=0.714x1.214]DoNFZRjsvUBa9i6miU5BKg==[/tex] 全为零, 则 [tex=7.429x1.5]OpHm8jxwo3uQK7aO4XHS5U33VIAcSyF/FjN3kJD59DgPtXVUP6lDzxCGGqJ+n4IWZh4WwdniUaSekkfxyzKu1g==[/tex] 是非零列向量，并且满足 [tex=3.5x1.357]5tsH7TL9EjjOfNqXaQ2BZxL/p8v4uqElHOWo9pRv13E=[/tex], 但 [tex=3.214x1.214]vOmWab8bfYmTNX8yYo1sAb2UQq6eFK1yEfbcDxXUw7M=[/tex], 从而 [tex=9.857x1.5]MPYh4Im9HHILYigDzUopQKs7iPYsk4S9f2ap75ISe18VuFdSDO1V+c2ze6diTFn9gy4f7JBCvLhNNGaX0x1YZiiz+ryBFdHvJN/hbVIOjxU=[/tex] 也是非零列向量, 并且满足 [tex=3.571x1.143]llbZOzaSxsy88gIN6zZS7cQPk8SD5Sfny63NqcusyT4=[/tex], 但 [tex=11.214x1.571]Mppi2zW1JZVw6FQT+FAMYgz/iAQS3qzmp+vmOjVusfp/FvmotS/3TeIPuW3t0dCDfz5afl1AkFxlLv79cKTzfo140vlK7WFghlBmiT7uxCM=[/tex], 这就推出了矛盾.

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, 若对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维非零实列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex], 总有 [tex=4.143x1.214]llbZOzaSxsy88gIN6zZS7XSC62cY4voQ0PZXa9I1yOo=[/tex], 则称 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为亚正定阵. 下设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶亚正定阵, [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex] 是正实数, 求证:(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是亚正定阵的充要条件是 [tex=2.571x1.286]hTkVgseCfVyG3CpmN2i9umj6RIPC/RC6hUw9y1wDYOo=[/tex] 是正定阵;(2) [tex=8.429x1.429]qkVfeKzMFQljRCkvkYjBocoW0SmIGmchDjv2AWYo84uA9hdfp0ylP72pc/tnRAu5[/tex] 都是亚正定阵;(3) 若 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶非异实矩阵, 则 [tex=2.5x1.143]NG5DOe/S5ZBvb+Wli+5nT0c7N/+Cq6b0Efr0+CJQRaY=[/tex] 是亚正定阵;(4) 若 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是对称矩阵且 [tex=2.286x1.143]iJ/kX6H3zlNBT5gr/UbiHQ==[/tex] 是亚正定阵, 则 [tex=4.214x1.357]t/PHzFoVTK0rx/Hr20JwvZrBq3O0wbfTPk8CIGQ1as8=[/tex] 也是亚正定阵.
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, 若对任意的非零 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维实列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex], 总有 [tex=4.429x1.214]llbZOzaSxsy88gIN6zZS7aPKHQQX7NPDL7x226Rswfs=[/tex] 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值的实部都大于零.
2
求证: [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是反对称矩阵的充要条件是对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex], 有 [tex=3.429x1.143]zviQT+QcyxjB1Z7lp+FX6sA/LL/rxMY1c4k7FgfsssM8J8DhqnJ48Ewy43lpyfed[/tex]
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶对称阵，[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆矩阵. 已知 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的对应于特征值 [tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex] 的特征向量，求矩阵 [tex=4.5x1.714]JQ9TFSUSe+UZ9hiCixUJL4KvVHXifqmC8svsb4HD6RZHgWwTmNjtr/4eHALuX3c1[/tex] 对应于特征值 [tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex] 的特征向量.
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶负定实对称矩阵, 求证: [tex=1.714x1.214]iQ/iEbsDm/5Je+BSznZxUQ==[/tex] 也是负定阵; 当 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为偶数时, [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 是负定阵, 当 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为奇数时, [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 是正定阵.