证明 8.1 节层次分析模型中定义的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶一致阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有下列性质 :[tex=0.643x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=0.5x1.0]AYXQx0BMtpSPsr4BfOe2YQ==[/tex],唯一非零特征根为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex];

2022-06-08

证明 8.1 节层次分析模型中定义的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶一致阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有下列性质 :[tex=0.643x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=0.5x1.0]AYXQx0BMtpSPsr4BfOe2YQ==[/tex],唯一非零特征根为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex];

答案：

由 8.1 节(4)式得,对任意2列[tex=1.5x1.214]vSn1F6hnu4OLn4t7tkvX9g==[/tex]有[tex=10.0x2.429]FXhCeVIgWZabHYSclBNoZVC/M+vP55sebovWlSebw4zp38cugNFQxyz+aqXaj6AobRqmOqeaJKeobR7yOXWGCQ==[/tex],即[tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex]列与j列对应分量成比例[tex=7.286x1.357]nbElc1vMT3nbCv8QLhfAEa9xYNLw338w05rjSMHQagY=[/tex],故[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]秩为1.因为任意矩阵的特征根之和等于其对角元素之和, [tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]的对角元素[tex=3.857x1.357]ruI7qY+MZm0k3hcg/FgjaWCMVw4C5HA2CE9Oo3f42sc=[/tex],而秩为1的阵[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]只有一个非零的特征根,故这个根是[tex=0.5x0.786]S+JoRWc/pQkxB8RXu7v3/Q==[/tex].

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
1
若[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足[tex=5.714x1.357]gHrEoMXRoYD6ylIB8k+Dmg==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为[input=type:blank,size:4][/input]。
2
若[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足[tex=4.286x1.357]M8pBlvV+S4LQnhAnSAKoXw/P7X8DAabMY3TupXqT7NSjfT7K5RGfXHWdaekRkXAfTKkpTigD5xQ3xzNaahKuWQ==[/tex]，称[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正规阵，证明：[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正规阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与对角阵酉相似。
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, 满足 [tex=4.071x1.143]23C06xV+qahUl1T3xcoZnwRQpH8YtXCwkd9Ub4sG38M=[/tex],证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵的充要条件是存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶非异实矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.286x1.143]Ys46PWl0/Kt6EeuPQmIYUVrqckiP2yTAu4+gPWxyAI8=[/tex];